UA OPTI512R 傅立叶光学导论5 光学常用基本函数回顾

Step Function
Sign Function
Ramp Function
Rectangular Function
Triangular Function
Sinc Function
Gaussian Function
Impulse Function（Dirac Delta Function）

这一篇简单回顾一下光学中常用的特殊函数，方便以后查阅相关性质。下列函数不连续点的取值1/2可以替换为0或者1，对函数本身性质无影响。

Step Function

定义step function为
step(x)={0,x<01/2,x=01,x>0step(x)=\begin{cases}0, x<0 \\ 1/2,x = 0 \\ 1,x>0 \end{cases}step(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,x<01/2,x=01,x>0

step function的作用是选出某个区间内波形，比如要选出cos⁡(2πx)\cos(2\pi x)cos(2πx)在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)上的波形，就可以直接用cos⁡(2πx)step(x)\cos(2\pi x)step(x)cos(2πx)step(x)。下面是step function的两个重要性质：

step function在原点处不连续：lim⁡x→0−step(x)=0≠lim⁡x→0+step(x)=1\lim_{x \to 0-}step(x)=0 \ne \lim_{x \to 0+}step(x)=1x→0−limstep(x)=0=x→0+limstep(x)=1
step(x−a)step(x-a)step(x−a)表示选出(a,+∞)(a,+\infty)(a,+∞)的波形，step(a−x)step(a-x)step(a−x)表示选出(−∞,a)(-\infty,a)(−∞,a)的波形，不同step function的乘积表示选出它们各自对应区间交集的波形

Sign Function

定义sign function为
sign(x)={−1,x<00,x=01,x>0sign(x)=\begin{cases}-1, x<0 \\ 0,x = 0 \\ 1,x>0 \end{cases}sign(x)=⎩⎪⎨⎪⎧−1,x<00,x=01,x>0

它与step function可以互相转化：
step(x)=1+sign(x)2step(x)=\frac{1+sign(x)}{2}step(x)=21+sign(x)

Ramp Function

定义Ramp function为
ramp(x)={0,x<0x,x≥0ramp(x)=\begin{cases}0, x < 0 \\ x,x \ge 0 \end{cases}ramp(x)={0,x<0x,x≥0

这个函数也可以用step function构造出来：
ramp(x)=x⋅step(x)=∫−∞xstep(z)dzramp(x)=x\cdot step(x) = \int_{-\infty}^x step(z)dzramp(x)=x⋅step(x)=∫−∞xstep(z)dz

Rectangular Function

定义rectangular function为
rect(x)={0,∣x∣>1/21/2,∣x∣=1/21,∣x∣<1/2rect(x)=\begin{cases}0, |x| > 1/2 \\ 1/2, |x|=1/2 \\ 1,|x|<1/2 \end{cases}rect(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,∣x∣>1/21/2,∣x∣=1/21,∣x∣<1/2

这个函数同样可以用step function构造：
rect(x)=step(x+1/2)−step(x−1/2)rect(x)=step(x+1/2)-step(x-1/2)rect(x)=step(x+1/2)−step(x−1/2)

所以感觉step function真的是很基本的一个函数了。

Triangular Function

定义triangular function为
tri(x)={0,∣x∣>1x+1,−1≤x≤01−x,0≤x≤1tri(x)=\begin{cases}0, |x|>1 \\ x+1,-1 \le x \le 0 \\ 1-x, 0 \le x \le 1 \end{cases}tri(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,∣x∣>1x+1,−1≤x≤01−x,0≤x≤1

这个函数可以用ramp function构造：
tri(x)=ramp(x+1)step(−x)+ramp(−x+1)step(x)tri(x)=ramp(x+1)step(-x)+ramp(-x+1)step(x)tri(x)=ramp(x+1)step(−x)+ramp(−x+1)step(x)

Sinc Function

Sinc函数的定义是
sinc(x)=sin⁡(πx)πxsinc(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}sinc(x)=πxsin(πx)

这个函数会使sin⁡(πx)\sin(\pi x)sin(πx)波形随xxx绝对值变大逐渐衰减，另外，
lim⁡x→0sinc(x)=lim⁡x→0sin⁡(πx)πx=1\lim_{x \to 0} sinc(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=1x→0limsinc(x)=x→0limπxsin(πx)=1

我们还可以计算一下sinc function的积分：
∫−∞+∞sinc(x)=1\int_{-\infty}^{+\infty} sinc(x)=1∫−∞+∞sinc(x)=1

emm因为∫sin⁡(t)tdt\int \sin(t)tdt∫sin(t)tdt是一个特殊积分，记为Si(x)Si(x)Si(x)，是三角函数积分中的正弦积分，感兴趣的话可以查一下它的性质。

Gaussian Function

Gaussian Function的定义是
Gaus(x)=e−πx2Gaus(x)=e^{-\pi x^2}Gaus(x)=e−πx2

对正态分布比较了解的同学会很清楚这个函数的性质，但傅里叶光学中不会经常用到这个。

Impulse Function（Dirac Delta Function）

简单理解，impulse function就是在x=0x=0x=0处对系统施加一个脉冲，也就是δ(0)=∞\delta(0)=\inftyδ(0)=∞，δ(x)=0,x≠0\delta(x)=0,x \ne 0δ(x)=0,x=0，但显然这个定义并不严谨，我们可以借助其他函数来定义impulse function:
δ(x)=lim⁡b→01∣b∣sinc(xb)\delta(x)=\lim_{b \to 0}\frac{1}{|b|}sinc(\frac{x}{b})δ(x)=b→0lim∣b∣1sinc(bx)

作为傅里叶光学最重要的函数之一，impulse function最重要的性质是sifting：

∫x1x2f(x)δ(x−x0)dx=f(x0)1[x1,x2](x0)\int_{x_1}^{x_2}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)1_{[x_1,x_2]}(x_0)∫x1x2f(x)δ(x−x0)dx=f(x0)1[x1,x2](x0)

需要注意的是∫−∞+∞δ(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1∫−∞+∞δ(x)dx=1是无量纲的，所以如果dxdxdx的量纲是长度，那么δ(x)\delta(x)δ(x)的量纲就是1/长度。