mdin偏移_混沌摆实验讲义
【实验目的】
⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；
⒉通过振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解
⒊理解“蝴蝶效应”
。
【预习思考题】
1
、
什么是混沌现象？
2
、
何谓蝴蝶效应？
【实验器材】
CI-6538
转动传感器、
ME-8750
机械振荡器
/
驱动器、
ME-8735
大型杆支座、
SE-9442
多用夹、
SE-9720
直流电源、
CI-6552A
功率放大器
【实验原理】
⒈分岔与混沌理论
⑴
逻辑斯蒂映射
为了认识混沌
(
chaos
)
现象，
我们首先介绍逻辑斯蒂映射，
即一维线段的非线性映射，
因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用
0
和
1
之间的数
x
表示。逻辑斯蒂映射是
)
1
(
x
kx
x
其中
k
是
0
和
4
之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统
)
1
(
1
n
n
n
x
kx
x
，
0
n
，
1
，
2
„
我们发现：
①
当
k
小于
3
时，
无论初值是多少经过多次迭代
,
总能趋于一个稳定的不动点
;
②
当
k
大于
3
时，
随着
k
的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周
期
2
循环；
k
继续增大会出现
4
，
8
，
16
，
32
„周期倍化级联；
③
很快
k
在
58
.
3
左右就结束
了周期倍增，迭代结果出现混沌
,
从而无周期可言。
④
在混沌状态下迭代结果对初值高度敏
感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”
。
⑤
迭代结果
不会超出
0
～
1
的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先
画一条
)
1
(
x
kx
y
的抛物线，再画一条
x
y
的辅助线，迭代过程如箭头线所示(图
1
)
。
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