e9.1 孤立系统，粒子能量$\varepsilon=p^2/2m=(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/2m$,求系统的配分函数

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孤立系统的配分函数有以下两种表达式--能态和能级

\[z=\sum_i e^{-\beta \varepsilon}\]

\[z=\sum_i G_ie^{-\beta \varepsilon_i}\]

或写成积分形式

\[z=\int e^{-\beta \varepsilon}D(\varepsilon)d\varepsilon\]

\[z=\int e^{-\beta \varepsilon_i}\frac{dp_1..dp_r}{h^r}\]

解法1：

利用配分函数的能级表达式，

\[z=\int e^{-\beta \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}}\frac{dxdydzdp_xdp_ydp_z}{h^3}\]

\[z=\frac{V}{h^3} (\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p_x^2}{2m}})^3\]

根据高斯积分

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2}=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\]

所以

\[z=\frac{V}{h^3}(2\pi mk_BT)^{3/2}\]

解法2：

利用配分函数的能态表达式，

\[z=\int e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}D(\varepsilon)d\varepsilon\]

因此要先求出态密度

\[\sum (\varepsilon)=\int_{h\le\varepsilon}dxdydzdp_xdp_ydp_z\]

\[\sum (\varepsilon)=V\int_{h\le\varepsilon}dp_xdp_ydp_z \]

可采用换元积分，

\[\sum (\varepsilon)=V(2m\varepsilon)^{3/2}\int_{(\frac{p_x^2}{\sqrt{2m\varepsilon}})^2+(\frac{p_y^2}{\sqrt{2m\varepsilon}})^2+(\frac{p_z^2}{\sqrt{2m\varepsilon}})^2\le 1}d(\frac{p_x}{\sqrt{2m\varepsilon}})(\frac{p_y}{\sqrt{2m\varepsilon}})(\frac{p_z}{\sqrt{2m\varepsilon}})=\frac{4\pi V}{3}(2m\varepsilon)^{3/2} \]

更简单地可以利用球坐标积分，

\[\sum (\varepsilon)=V\int_{0}^{\sqrt(2m\varepsilon)} p^2dp \int_0^{\pi} sin\theta d\theta \int_0^{2\pi}d\varphi\]

同样得到

\[\sum (\varepsilon)=\frac{4\pi V}{3}(2m\varepsilon)^{3/2}\]

态密度，

\[D(\varepsilon)=\frac{1}{3}\frac{\sum (\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\]

\[D(\varepsilon)=\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\varepsilon^{1/2}\]

代入配分函数表达式

\[z=\int e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}D(\varepsilon)d\varepsilon\]

得到$z=\frac{V}{h^3}(2\pi mk_BT)^{3/2}$

9.1（ 参照e9.1，坐标积分结果变为2V）

9.2

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\[\varepsilon_l=c_lp1,\varepsilon_t=c_tp2\]

\[\sum (\varepsilon)=V\int_0^{\varepsilon/c_l} p1^2dp \int_0^{\pi} sin\theta d\theta \int_0^{2\pi}d\varphi+2V\int_0^{\varepsilon/c_t} p2^2dp \int_0^{\pi} sin\theta d\theta \int_0^{2\pi}d\varphi\]

\[\sum (\varepsilon)=\frac{4\pi V \varepsilon^3}{3c_l^3}+\frac{8\pi V \varepsilon^3}{3c_t^3}\]

态密度，

\[D(\varepsilon)=\frac{1}{3}\frac{\sum (\varepsilon)}{\partial \varepsilon}=\frac{4\pi V \varepsilon^2}{c_l^3h^3}+\frac{8\pi V \varepsilon^2}{c_t^3h^3}\]

9.3

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(a) $D(\varepsilon)=\frac{4\pi mV}{h^3}(2m\varepsilon)^{1/2}$

(b) $D(\varepsilon)=\frac{4\pi V\varepsilon}{c^2}(\frac{\varepsilon^2-m^2c^4}{c^2})^{1/2}$

(c)$\varepsilon=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2)$

对变量进行替换，

\[\xi_i=\frac{p_i}{\sqrt{2m\varepsilon}}\]

\[\eta_i=\frac{r_i}{\sqrt{2\varepsilon /k}}\]

利用公式：

\[V_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}\]

\[\Gamma (m)=\int_0^{\infty} t^{m-1}e^{-t}dt\]

积分得到，

\[\sum(\varepsilon)=(2m\varepsilon)^3(\sqrt{2\varepsilon /k})^3\int_{\sum_{i=1}^3 \xi_i^2+\eta_i^2 \leq 1} \Pi_{i=1}^{3} d\xi_i d\eta_i=\frac{(2\pi \varepsilon \sqrt{m/k})^3}{3!}\]

9.4

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谐振子能量，

\[\varepsilon_n=(n+1/2)h\nu\]

处于第一激发态和基态的概率比值，

\[\rho_1/\rho_0=\frac{e^{-\beta\frac{3}{2}h\nu}}{e^{-\beta\frac{1}{2}h\nu}}=e^{-\beta \nu}\]

配分函数（按照微正则系综能态的写法），

\[z=e^{-\beta\frac{3}{2}h\nu}+e^{-\beta\frac{1}{2}h\nu}\]

能量的期望值，

\[<{\varepsilon}>=-\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial \beta}=\frac{1}{2}h\nu+\frac{h\nu}{e^{\beta h \nu}+1}\]

9.5

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化简得到

\[ln\frac{N_z}{N_0}=-\frac{h\nu}{k_BT}n\]

拟合$ln({N_z}/{N_0})--n$得到斜率值，进而算出T=2503K

9.6

方法同9.5，此时$N_0$为$n=0$时的$N_z$，拟合得到$k_B$

9.7

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\[\varepsilon=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2\]

\[z=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta (\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2)} \frac{dxdp}{h}\]

\[z=\frac{1}{h}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}dp \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\beta \frac{1}{2}kx^2}dx=\frac{2\pi}{\beta h}\sqrt{\frac{m}{k}} \]

方均位移

\[<x^2>=\frac{1}{z}\int x^2 e^{-\beta (\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2)} dxdp=\frac{1}{\beta k}\]

因此

\[<{\sum_i x^2}>=\sum_{i=1}^3 <{x^2}>=\frac{3}{\beta k}=\frac{3k_B}{k}T\]

9.8

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某一个面上（面积为S）的配分函数，用直角坐标（也可以选用极坐标）

\[z=\int e^{-\beta \frac{p_x^2+p_y^2}{2m}}\frac{dxdydp_xdp_y}{h^2}\]

\[z=\frac{S}{h^2} (\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p_x^2}{2m}})^2=\frac{S}{h^2}(2\pi mk_BT)\]

单粒子能量期望，

\[<{\varepsilon_1}>=-\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial \beta}=1/\beta\]

N个粒子，

\[<{\varepsilon}>=N<{\varepsilon_1}>=Nk_BT\]

摩尔热容，

\[C=\frac{\partial <{\varepsilon}>}{\partial t}=Nk_B\]