一、说明

二、欧拉公式

三、欧拉的证明

3.1 当R=2时候

3.2 当R大于2时

四、柯西的证明

五、推理证明

一、说明

在图型学中，欧拉公式很有用处，比如皮克定律也可以用欧拉公式证明。本篇介绍欧拉公式的定义和三个证明过程。

二、欧拉公式

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes（笛卡尔）首先给出证明。

后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为 Descartes定理。

R+ V- E= 2 就是欧拉公式。

如上图： R =10 ，V = 13 ，E = 21，因此，R+ V- E= 2成立。

三、欧拉的证明

3.1 当R=2时候

( 1) 当 R= 2时，由说明 1,这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立。

3.2 当R大于2时

( 2) 设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立。

我们在 R= m+ 1的地图上任选一个区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变;若原该边界一端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点，则去掉该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。

于是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：

①减少一个区域，同时减少一条边界；
②减少一个区域、同时减少一个顶点和两条边界；
③减少一个区域，同时减少两个顶点和三条边界；

以上情况如下图说明：

即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”.

减少区域数Rsub	减少边界Esub	减少顶点Vsub	平恒公式
1	1	0	Rsub +Vsub - Esub =0
1	2	1
1	3	2

我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边界又照原样画上 ) ，就又成为 R= m+ 1的地图了，在这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。

因此，若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2,欧拉定理成立。

四、柯西的证明

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下：

欧拉公式

从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）

的额外变换。

若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。
除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。
（逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形

（把外部数在内），。所以。

五、推理证明

设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面，因此要添(F-1)个面.

考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.

添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1.

以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1，例如

增添两个面后，有关系E=V+2;

增添三个面后，有关系E=V+3;

……

增添(F-2)个面后，有关系E=V+ (F-2).

最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加.因此，关系式仍为E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

这个公式叫做欧拉公式.它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。

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