二者关系

都说Nyquist定理适用的情况是无噪声信道，Shannon定理适用的情况是有噪声信道，那是不是前者比后者高呢？其实不是的。仔细看看就知道，Nyquist定理描述的是数字信道的无噪声信道，shannon定理描述的是模拟信道的有噪声信道，数字信道的量化噪声，不是Nyquist定理里噪声的一部分，却是Shannon定理里噪声的成分。所以实际上Shannon极限更大！

考虑量化噪声，Nyquist极限的上限是Shannon极限

以均匀量化为例，SNq=3×Q2×x2(t)‾xp2\frac{S}{N_q}=3\times{Q^2}\times{\frac{\overline{x^2(t)}}{x^2_p}}NqS=3×Q2×xp2x2(t)，
对归一化的M进制PAM信号符号序列的可能电平为ak={±1Q−1,±3Q−1...,,±1}{a_k}=\{\pm\frac{1}{Q-1},\pm\frac{3}{Q-1}...,,\pm{1}\}ak={±Q−11,±Q−13...,,±1}，
各电平等概下，其平均功率E{ak2}=M2−13(M−1)2E\{a_k^2\}=\frac{M^2-1}{3(M-1)^2}E{ak2}=3(M−1)2M2−1,xp2=1{x^2_p}=1xp2=1
回代得SNq=Q2×M+1M−1\frac{S}{N_q}={Q^2}\times\frac{M+1}{M-1}NqS=Q2×M−1M+1。
Shannon极限Cs=BTlog2{1+SNq}=BTlog2{1+Q2×M+1M−1}C_{s}=B_{T}log_{2}\{1+\frac{S}{N_q}\}=B_{T}log_{2}\{1+{Q^2}\times\frac{M+1}{M-1}\}Cs=BTlog2{1+NqS}=BTlog2{1+Q2×M−1M+1},
Nyquist极限Cn=BTlog2{1+SNq}=BTlog2{Q2}C_{n}=B_{T}log_{2}\{1+\frac{S}{N_q}\}=B_{T}log_{2}\{{Q^2}\}Cn=BTlog2{1+NqS}=BTlog2{Q2},
显然有Cn<CsC_{n}<C_{s}Cn<Cs，
量化位数QQQ趋于无穷大时，量化阶Δ\DeltaΔ趋于0，Cn=CsC_{n}=C_{s}Cn=Cs。

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