零钱兑换问题——python动态规划解法

问题：

给定不同面额的硬币(coins)和一个总金额(amount)。写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合方式能组成总金额，返回-1。

示例 1:
coins = [1, 2, 5], amount = 11
return 3 (11 = 5 + 5 + 1)

示例 2:
coins = [2], amount = 3
return -1.

注意:

你可以认为每种硬币的数量是无限的。（此题目摘自leetcode）

什么是动态规划？其思路是为了求解当前的问题的最优解，使用子问题的最优解，然后综合处理，最终得到原问题的最优解。网上有很多介绍的文章，但是对于初学者（比如我）来说，看起来会有些懵。我个人的理解是，当总金额为amount时，所需的最少硬币个数为dp[amount]，那么当amount = 11时，求出所有dp[1]、dp[2]、...、dp[11]的值。dp[1]到dp[10]就可以说是dp[11]的子问题，需要通过他们来求最终解。

以示例1为例，我们需要尽可能少的硬币个数，所以从11的总金额中取出任意一枚硬币，剩下的金额所需最少硬币个数再加上1就是所需硬币个数，即所需硬币个数为：dp[10]+1、dp[9]+1、dp[6]+1，再从中取最小值，即可求解。以此类推，dp[10]=min(dp[9]+1,dp[8]+1,dp[5]+1)...所以可以看出，通过求出所有dp[1]、dp[2]、...、dp[10]的值，最终就能得到dp[11]的值。

以下是代码实现：

def coinChange(coins, amount):
"""
:type coins: List[int]
:type amount: int
:rtype: int
"""
coins.sort() #给硬币从小到大排序
dp = {0:0} #生成字典dp，并且当总金额为0时，最少硬币个数为0
for i in range(1,amount + 1):
dp[i] = amount + 1 #因为硬币个数不可能大于amount，所以赋值amount + 1便于比较
for j in coins:
if j <= i:
dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]+1)
#for i in range(1,amount + 1):
#print('dp[%d]:'%(i), dp[i])
if dp[amount] == amount + 1: #当最小硬币个数为初始值时，代表不存在硬币组合能构成此金额
return -1
else:

return dp[amount]

一开始不太理解，为什么要求金额11的解需要算出1-10的所有解，这样不是把问题弄得更复杂了吗？后来醒悟是思路问题，这有些递归的思想在里边，就像盖楼一样，你不可能不用1-10层就只盖个11层。之所以写这篇文章，是因为想保留我现在作为初学者的视角，等以后学习更深入些再回过头来说不定会有新的感悟，望大佬轻喷

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