一、标量与向量
- 1、标量
- 2、向量
- - 1.向量的方向
  - 2.向量的长度
  - 3.向量的计算
  - - 1.向量加法
    - 2.向量的减法
    - 3.向量的乘法
    - - 1.点乘
      - 1.在图形学中我们经常使用点乘来计算两个向量的夹角，比如制作光照模型时计算光照和法线的夹角。
        
        2.另外点乘还有一个作用，就是计算一个向量在另一个向量上的投影。
        
        3.通过点乘我们可以知道两个向量的是否指向同一方向
        
        4.我们可以通过点乘计算两个向量有多么接近
      - 2.叉乘
      - 1.作用主要用于方便我们建立一个三维空间的直角坐标系。
        
        2.第二个作用：判断一个向量在另一个向量的左还是右![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/abd46569b54d4767af7c5c8db8f5192c.png)
        
        3.第三个作用：判断内外
      - 3.点乘和叉乘的共同应用：把一个向量分解到一个三维直角坐标系上

一、标量与向量

1、标量

只有大小，没有方向的数值即称为标量。比如：长度，面积，温度等。

2、向量

又称为矢量，既有大小又有方向的量。一个向量表示一个点指向另一个点的方向和长度。向量通常可以用一个字母并在字母上加→来表示,如：a⃗\vec{a}a向量。

1.向量的方向

上图描述一个有点A 指向点B 的向量 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a 。在同一个坐标系内，任何 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a 方向和长度相等的向量都和向量 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a 相等。比如由 点A’ 指向 点B’ 的向量 A′⃗\boldsymbol{\vec{A'}}A′ 。用向量的终点减起点即可得到这个向量的值: a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a = B - A 。

2.向量的长度

向量的长度也叫向量的模，可以用两组两条|包裹的向量名来表示，如：∣∣a⃗∣∣\boldsymbol{||\vec{a}||}∣∣a∣∣ 。
还有一种比较特殊的向量叫单位向量，单位向量的意思是模长为1的向量。单位向量用向量名上面加一个尖尖的角来表示，如：a^\boldsymbol{\hat{a}}a^。用向量除以他自己的模长即可得到他的单位向量，也叫归一化向量：a^=a⃗/∣∣a⃗∣∣\boldsymbol{\hat{a} = \vec{a} / ||\vec{a}||}a^=a/∣∣a∣∣ 。

在图形学中，我们关注一个方向通常都用单位向量，并不用关心它的长度

求模公式
∣∣A⃗∣∣=x2+y2||\vec{A}|| = \sqrt{x^2+y^2}∣∣A∣∣=x2+y2
这里我们还可以理解为一个向量为列矩阵乘以他的转置矩阵。
A⃗=(xy)\vec{A} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}A=(xy)
AT=(xy)A^T = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}AT=(xy)

3.向量的计算

1.向量加法

向量加法可以用两种方式来解释，分别是平行四边形法则和三角形法则。
左边的图是平行四边形法则：
两个向量合成时，以表示这两个向量的线段为邻边作平行四边形，这个平行四边形的对角线就表示合向量的大小和方向，这就叫做平行四边形定则。
这里可以这样理解：因为向量在同一平面内可以随意移动而不会改变其值，我们可以把向量 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a和向量 b⃗\boldsymbol{\vec{b}}b的起点放在一起，然后再平移另一组向量 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a和向量 b⃗\boldsymbol{\vec{b}}b使得他们围城一个平行四边形。那么这个平行四边形的对角线就是向量 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a和向量 b⃗\boldsymbol{\vec{b}}b相加之和。

右边的图是三角形法则：
把向量 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a和向量 b⃗\boldsymbol{\vec{b}}b首尾相接，从向量 a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a的起点指向向量 b⃗\boldsymbol{\vec{b}}b的终点的向量就是a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a+b⃗\boldsymbol{\vec{b}}b的结果
这个不仅适用于两个向量，也可以用于多个向量。

2.向量的减法

将两个向量平移至公共起点，减向量的终点指向被减向量的终点的向量即为结果。

3.向量的乘法

1.点乘

1.在图形学中我们经常使用点乘来计算两个向量的夹角，比如制作光照模型时计算光照和法线的夹角。

几何解释
a⃗⋅b⃗=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣cosθ\boldsymbol{\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| \ ||\vec{b}|| \ cosθ}a⋅b=∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣ cosθ
两个向量点乘的结果是一个标量。
cosθ=a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣\boldsymbol{cosθ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \ ||\vec{b}||}}cosθ=∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣a⋅b
当两个向量都为单位向量时，公式可简化为
cosθ=a^⋅b^\boldsymbol{cosθ = \hat{a} \cdot \hat{b}}cosθ=a^⋅b^
代数解释
a⃗⋅b⃗=(xaya)⋅(xbyb)=xaxb+yayb\boldsymbol{\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\ y_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_b \\ y_b \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b}a⋅b=(xaya)⋅(xbyb)=xaxb+yayb
a⃗⋅b⃗=(xayaza)⋅(xbybzb)=xaxb+yayb+zazb\boldsymbol{\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\ y_a \\ z_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b}a⋅b=⎝⎛xayaza⎠⎞⋅⎝⎛xbybzb⎠⎞=xaxb+yayb+zazb
向量的点乘满足交换律、结合律、分配率
a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\boldsymbol{\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}}a⋅b=b⋅a
a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\boldsymbol{\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a}\cdot \vec{c}}a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
(ka⃗)⋅b⃗=a⃗⋅(kb⃗)=k(a⃗⋅b⃗)\boldsymbol{(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})}(ka)⋅b=a⋅(kb)=k(a⋅b)
如果两个向量的点乘为0则这两个向量互相垂直a⃗⋅b⃗=0\boldsymbol{\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}a⋅b=0

2.另外点乘还有一个作用，就是计算一个向量在另一个向量上的投影。

投影公式的推导过程如下
b⃗\boldsymbol{\vec{b}}b在a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a上的投影是b⊥⃗\boldsymbol{\vec{b_\perp}}b⊥，且两个向量的夹角是θ。因为b⊥⃗\boldsymbol{\vec{b_\perp}}b⊥是a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a上的投影，所以b⊥⃗\boldsymbol{\vec{b_\perp}}b⊥的方向和a⃗\boldsymbol{\vec{a}}a相同。可得：
投影值为长度d乘以单位向量a^\hat{a}a^ (1)
a^=a⃗∣∣a⃗∣∣\hat{a}=\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}a^=∣∣a∣∣a
b⊥⃗=da⃗∣∣a⃗∣∣\vec{b_\perp}=d\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}b⊥=d∣∣a∣∣a
由三角函数可求出d的值 (2)
d=∣∣b⃗∣∣cosθd=||\vec{b}||cosθd=∣∣b∣∣cosθ
根据点乘公式可得 (3)
cosθ=a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣cosθ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \ ||\vec{b}||}cosθ=∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣a⋅b
投影长度：把3代入2
d=∣∣b⃗∣∣a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣=a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣d=||\vec{b}||\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \ ||\vec{b}||}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}||}d=∣∣b∣∣∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣a⋅b=∣∣a∣∣a⋅b
投影向量：把3代入2再，2再代入1，可得：
b⊥⃗=∣∣b⃗∣∣a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣a⃗∣∣a⃗∣∣=a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣2a⃗\vec{b_\perp}=||\vec{b}||\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \ ||\vec{b}||}\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}||^2}\vec{a}b⊥=∣∣b∣∣∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣a⋅b∣∣a∣∣a=∣∣a∣∣2a⋅ba

得到向量b⃗\vec{b}b在向量a⃗\vec{a}a上的投影向量后，我们可根据向量减法求出另一条直角边所代表的的向量b⃗−b⃗⊥\vec{b}-\vec{b}_\perpb−b⊥

3.通过点乘我们可以知道两个向量的是否指向同一方向

这里a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b的点乘结果大于0，我们可知他们方向基本上是一致的。a⃗\vec{a}a和c⃗\vec{c}c的点乘结果小于0则他们方向相反。如果点乘结果等于0则两个向量垂直。

4.我们可以通过点乘计算两个向量有多么接近

参考3。如果a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b的点乘结果越接近1，则两个向越接近。越接近-1则两个向量越远离

2.叉乘

几何解释
不同于点乘的结果是一个标量，叉乘的结果是一个向量。该向量同时垂直于两个相乘的向量所定义的平面。因为是一个向量所以有两个属性：一个是模长，一个是方向。模长的计算公式为：
∣∣a⃗×b⃗∣∣=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣sinθ||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||\vec{a}||||\vec{b}||sinθ∣∣a×b∣∣=∣∣a∣∣∣∣b∣∣sinθ
方向则是由两个乘数决定的，根据右手螺旋定则，由乘数指向被乘数，拇指的方向即为叉乘结果的方向

1.作用主要用于方便我们建立一个三维空间的直角坐标系。

代数解释
a⃗×b⃗=(yazb−ybzazaxb−xazbxayb−yaxb)\boldsymbol{\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b-x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b \end{pmatrix}}a×b=⎝⎛yazb−ybzazaxb−xazbxayb−yaxb⎠⎞
另一种算法是把a⃗\vec{a}a写成矩阵的形式A
a⃗×b⃗=A∗b=(0−zayaza0−xa−yaxa0)(xbybzb)\boldsymbol{\vec{a} \times \vec{b} = A*b= \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b\\ y_b\\ z_b \end{pmatrix}}a×b=A∗b=⎝⎛0za−ya−za0xaya−xa0⎠⎞⎝⎛xbybzb⎠⎞
向量的叉乘不满足交换律：a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}a×b=−b×a
一个向量和它自己的叉乘是0⃗\vec{0}0：a⃗×a⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}a×a=0。因为一个向量与它自己的夹角是0，所以sinθ=0.
a⃗×(b⃗+c⃗)=a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}a×(b+c)=a×b+a×c
a⃗×(kb⃗)=k(a⃗×b⃗)\vec{a} \times (k \vec{b}) = k( \vec{a} \times \vec{b})a×(kb)=k(a×b)

2.第二个作用：判断一个向量在另一个向量的左还是右

根据右手螺旋定则，如果a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b在xy平面内，他们两个的的叉乘结果如果是正值则证明b⃗\vec{b}b在a⃗\vec{a}a的左侧，反之b⃗\vec{b}b在a⃗\vec{a}a的右侧。

3.第三个作用：判断内外

分别用AB⃗×AP⃗\vec{AB}\times\vec{AP}AB×AP、BC⃗×BP⃗\vec{BC}\times\vec{BP}BC×BP、CA⃗×CP⃗\vec{CA}\times\vec{CP}CA×CP得出每次P点都在左侧，即为在该区域内部

3.点乘和叉乘的共同应用：把一个向量分解到一个三维直角坐标系上

我们可以定义一个uvw的坐标系
∣∣u⃗∣∣=∣∣v⃗∣∣=∣∣w⃗∣∣=1||\vec{u}||=||\vec{v}||=||\vec{w}||=1∣∣u∣∣=∣∣v∣∣=∣∣w∣∣=1他们三个长度都为1，即为单位向量
u⃗⋅v⃗=v⃗⋅w⃗=u⃗⋅w⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w} = 0u⋅v=v⋅w=u⋅w=0三个向量互相垂直
w⃗=u⃗×v⃗\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}w=u×v叉乘结果等于第三个向量
这样我们就可以得到一个右手的三维直角坐标系。
然后我们把一个向量通过投影分解到这个直角坐标系上。
p⃗=(p⃗⋅u⃗)u⃗+(p⃗⋅v⃗)v⃗+(p⃗⋅w⃗)w⃗\vec{p}=(\vec{p}\cdot\vec{u})\vec{u}+(\vec{p}\cdot\vec{v})\vec{v}+(\vec{p}\cdot\vec{w})\vec{w}p=(p⋅u)u+(p⋅v)v+(p⋅w)w
投影公式为两个向量的点乘，因为被投的向量是单位向量所以：
在u方向上的投影向量为：∣∣p⃗∣∣cosθu⃗||\vec{p}|| \ cosθ \ \vec{u}∣∣p∣∣ cosθ u
以此类推可以得到三个方向上的投影向量。即为分解之前的向量

Games101计算机图形学学习笔记:线性代数-向量相关推荐

计算机图形学学习笔记——Whitted-Style Ray Tracing（GAMES101作业5讲解）
计算机图形学学习笔记--Whitted-Style Ray Tracing GAMES101作业5讲解遍历所有的像素生成光线光线与平面求交遍历所有的像素生成光线关于作业五中如何遍历所有的像素, ...
GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（作业07）
GAMES101-现代计算机图形学学习笔记(作业07) Assignment 07 GAMES101-现代计算机图形学学习笔记(作业07) 作业作业描述思路结果原课程视频链接以及官网 b站视频 ...
计算机图形学学习笔记（七）：二维图形变换：平移，比例，旋转，坐标变换等
接上文计算机图形学学习笔记(六):消隐算法:Z-buffer,区间扫描线,Warnock,光栅图形学小结在图形学中,有两大基本工具:向量分析,图形变换.本文将重点讲解向量和二维图形的变换. 5. ...
GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（作业02）
GAMES101-现代计算机图形学学习笔记(作业02) Assignment 02 GAMES101-现代计算机图形学学习笔记(作业02) 作业作业描述需要补充的函数思路结果原课程视频链接以 ...
计算机图形学学习笔记（九）：曲线曲面（一）：参数曲线、参数几何代数形式
接上文计算机图形学学习笔记(八):三维图形变换:三维几何变换,投影变换(平行/ 透视投影) 计算机图形学三大块内容:光栅图形显示(前面已经介绍完了 1-8).几何造型技术.真实感图形显示.光栅图 ...
计算机图形学学习笔记（十一）：曲线曲面（三）：B样条曲线与曲面
接上文计算机图形学学习笔记(十):曲线曲面(二):Bezier 曲线与曲面 8.4 B样条曲线产生背景及定义 B样条产生的背景 Bezier 曲线曲面有很多优点,比如说可以用鼠标拖动控制顶点以改变 ...
GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（作业01）
GAMES101-现代计算机图形学学习笔记(作业01) Assignment 01 GAMES101-现代计算机图形学学习笔记(作业01) 作业作业描述需要补充的函数思路结果原课程视频链接以 ...
计算机图形学学习笔记（八）：三维图形变换：三维几何变换，投影变换（平行/ 透视投影）
接上文计算机图形学学习笔记(七):二维图形变换:平移,比例,旋转,坐标变换等通过三维图形变换,可由简单图形得到复杂图形,三维图形变化则分为三维几何变换和投影变换. 6.1 三维图形几何变换三维 ...
计算机图形学学习笔记（五）：多边形裁剪（Suther land-Hodgeman），文字裁剪
接上文计算机图形学学习笔记(四):直线裁剪算法:Cohen-Suther land,中点分割法,Liang-Barsky 光栅图形学算法 3.4 多边形裁剪之前上一篇文章中,我们介绍了直线段的裁 ...

Games101计算机图形学学习笔记:线性代数-向量

目录