背包 CF730J Bottles 题解

【动态规划背包】CF730J Bottles

前言
Bottles
- 题目
- - 题目描述
  - 输入格式
  - 输出格式
- 样例 #1
- - 样例输入 #1
  - 样例输出 #1
- 样例 #2
- - 样例输入 #2
  - 样例输出 #2
- 样例 #3
- - 样例输入 #3
  - 样例输出 #3
- 提示
- 题解
- - 题意
  - 流程
  - - I. 最小瓶子数（简单贪心）
    - II. 最小时间
  - Code ( AC , 100ps )

前言

此乃小 Oler 的一篇小小题解，从今日后，还会进行详细的修订。

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Bottles

题目

源自洛谷 CF730J Bottles

题目描述

有 n n n 瓶水，第 i i i 瓶水的水量为 a i a_i ai，容量为 b i b_i bi。将 1 1 1 单位水从一个瓶子转移到另一个瓶子所消耗时间为 1 1 1 秒，且可以进行无限次转移。求储存所有水所需最小瓶子数 k k k 以及该情况下所用最小时间 t t t 。

输入格式

第一行输入一个正整数 n n n（ 1 ≤ n ≤ 100 1\le n\le 100 1≤n≤100）。

第二行输入 n n n 个正整数，第 i i i 个正整数表示 a i a_i ai（ 1 ≤ a i ≤ 100 1\le a_i \le 100 1≤ai≤100）。

第三行输入 n n n 个正整数，第 i i i 个正整数表示 b i b_i bi（ 1 ≤ b i ≤ 100 1\le b_i \le100 1≤bi≤100）。

对于每一个 i i i，满足 a i ≤ b i a_i\le b_i ai≤bi 。

输出格式

输出一行两个整数： k k k 和 t t t 。

样例 #1

样例输入 #1

4
3 3 4 3
4 7 6 5

样例输出 #1

2 6

样例 #2

样例输入 #2

2
1 1
100 100

样例输出 #2

1 1

样例 #3

样例输入 #3

5
10 30 5 6 24
10 41 7 8 24

样例输出 #3

3 11

提示

在第一个例子中， Nick 可以将苏打水从第一个瓶子倒到第二个瓶子。这需要 3 3 3 秒钟。在它之后，第二瓶将包含 3 + 3 = 6 3+3=6 3+3=6 单位的苏打水。然后他可以把苏打水从第四瓶倒到第二瓶，再倒到第三瓶：一个单位到第二个，两个单位到三个。这将花费 1 + 2 = 3 1+2=3 1+2=3 秒。所以，所有的苏打水都装在两个瓶子里，他会花 3 + 3 = 6 3+3=6 3+3=6 秒来做。

题解

题意

每个水瓶有两个值，一个是初始时水瓶中的水量 v a l val val ，一个是水瓶的容量 v v v ，求通过转移，储存所有水所需最小瓶子数 k k k 以及该情况下转移所用最小时间 t t t 。

流程

I. 最小瓶子数（简单贪心）

1. 求所有水瓶中的水量之和 s u m sum sum
1. 把每个水瓶按容量从大到小排序
1. 依次取出容量大的水瓶，直到取到大于 s u m sum sum 为止
1. 把最小瓶子数存入 r e s res res 中

II. 最小时间

定义 f i , j , k f_{i,j,k} fi,j,k 为考虑前 i i i 个水瓶，选了 j j j 个水瓶，容量是 k k k 时水量最大值。

f i , j , k = max ⁡ { f i − 1 , j , k → 不选 f i − 1 , j − 1 , k − v + v a l → 选 f_{i,j,k} = \max \begin{cases} f_{i-1,j,k} \to 不选\\ f_{i-1,j-1,k-v}+val \to 选 \end{cases} fi,j,k=max{fi−1,j,k→不选fi−1,j−1,k−v+val→选

由于数据比较大，如果直接开数组，会给你个惊喜的 MLE ！！！

想到我们使用的是背包思想，所以可以省略第一维，即修改状态定义为 f j , k f_{j,k} fj,k ，选了 j j j 个水瓶，容量是 k k k 时水量和的最大值，但要注意在枚举选了 j j j 个水瓶的循环时需倒序进行。

由于要求的是在取最少个瓶子情况下的最优解，就是说明选几个水瓶是已经确定的了，即 r e s res res ，最后枚举容量为 i i i 时的水量最大值 f r e s , i f_{res,i} fres,i ，取其中的最大值，题目并没有要求转移水量的顺序，则可以随意转移，所以用原来所有水瓶中的水量和和减去选中的水瓶中的水量和（需要转移的水量），就是最小时间。

下面贴上蒟蒻的代码…

Code ( AC , 100ps )

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=101;
int n,ans,f[N][N*N];
int sum,res,sum2;
struct Node {int a,b;
}d[N];
bool cmp(Node x,Node y) {return x.b>y.b;
}
int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&d[i].a);sum+=d[i].a;}for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&d[i].b);sum2+=d[i].b;}sort(d+1,d+n+1,cmp);int t=0;for(int i=1;i<=n;i++) {t+=d[i].b,res++;if(t>=sum) break;}memset(f,-0x3f3f3f3f,sizeof f);f[0][0]=0;for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=i;j>=1;j--) {for(int k=j*100;k>=d[i].b;k--)f[j][k]=max(f[j-1][k-d[i].b]+d[i].a,f[j][k]);}}int ans=0;for(int i=sum;i<=sum2;i++)ans=max(ans,f[res][i]);printf("%d %d\n",res,sum-ans);return 0;
}