DFS

暴力解法，直接遍历所有可能，甚至也没有怎么剪枝，竟然也不超时……

class Solution:def canDistribute(self, nums: List[int], quantity: List[int]) -> bool:packages = list(sorted(Counter(nums).values(), reverse=True))quantity = list(sorted(quantity, reverse=True))n, m = len(packages), len(quantity)def distribute(i):if i >= m: return Trueq = quantity[i]for j in range(n):if packages[j] < q: continuepackages[j] -= qif distribute(i+1):return Truepackages[j] += qreturn Falsereturn distribute(0)

记忆化DFS

其实看到这个数据大小大概就知道是个指数级别的复杂度了，那基本上就是记忆化搜索或者状态压缩DP。记忆化递归和DP其实本质上是一样的，一个自顶向下一个自底向上罢了。

不过记忆化搜索比较容易理解。这里需要记录的就是：

当前放到第几个物品了
背包容量。因为背包的顺序不重要，所以容量[1,2,1]和容量[1,1,2]其实是一回事，所以索性从大到小排，还方便剪枝。

class Solution:def canDistribute(self, nums: List[int], quantity: List[int]) -> bool:packages = list(sorted(Counter(nums).values(), reverse=True))quantity = list(sorted(quantity, reverse=True))n, m = len(packages), len(quantity)@lru_cache(typed=False)def distribute(i, packs):if i >= m: return Trueq = quantity[i]for j, p in enumerate(packs):if p < q: breaknew_packs = list(packs)new_packs[j] -= qif distribute(i+1, tuple(sorted(new_packs, reverse=True))):return Truereturn Falsereturn distribute(0, tuple(packages))

巨快……

状态压缩DP

状态： 二进制状态，1/0表示第i个物品有/没有被放进去.
状态转移：

f[i][s]表示：只用前i个背包，能不能装下s指示的物品。
f[i][s]=ORk(f[i−1][k]and weight(s-k)≤capacity[i])f[i][s] = \text{OR}_k(f[i-1][k] \text{ and } \text{weight(s-k)}\le \text{capacity[i]})f[i][s]=ORk(f[i−1][k] and weight(s-k)≤capacity[i])，OR里的每一项都表示：前一个状态k与当前状态s之间相差的那些物品全放到当前的背包里。
需要预处理每个状态的大小之和weight[s]，这样DP的时候不需要再重复计算

注意点：

边界条件：
- i=0的时候，只有f[i-1][0]为True，其它都是false
- f[i][0]=True，不管有多少个背包，“不放任何物品”的要求总是可以满足的
- 前置状态k=s的时候，不要漏掉了（即背包i里一个都不放，全放前面的i-1个背包里了）
快速遍历所有前置状态：利用(k-1) & s!

x-1的二进制特点：假如x里存在某位为1，则x-1会把最低位的1变成0，最低位的1右边的0全都变成1，而最低位的1左边的所有位都不变。这个特点可以跟其它数字配合在一起做一点位运算，例如：对(x-1)&x来说，x最低位的1左边所有位不变，与之后也不变，而减1之后x最低位的1右边（包括这个1）全都取反了，所以与之后等于0。因此(x-1)&x的结果就是把最低位的1去掉。

而(k-1) & s则有这样的特点：对于k最低位的1右边的所有位，如果在s里的对应位为1，那么在(k-1) & s里状态也为1。
所以可以这样遍历所有要放到背包i里的物品集合selected (= s-k)
1. 初始：全放，selected = s
2. 减少一个，selected = (selected - 1) & s，此时k = s - selected
3. 重复2，直到selected=0
以s = 1001010100为例：
1. selected = 1001010100 (1111)
2. selected = 1001010000 (1110)
3. selected = 1001000100 (1101)
4. selected = 1001000000 (1100)
5. selected = 1000010100 (1011)
6. …

class Solution:def canDistribute(self, nums: List[int], quantity: List[int]) -> bool:packages = list(Counter(nums).values())n, m = len(packages), len(quantity)M = 1 << m# 预处理每个状态的物品大小之和weights = [0] * Mfor s in range(M):if s == 0: continuefor i in range(m):if s & (1<<i):weights[s] = weights[s - (1<<i)] + quantity[i]f = []for i, p in enumerate(packages):f.append([])for s in range(M):res = False# case 1: f[i][0]# case 2: selected=0if s == 0 or (i > 0 and f[i-1][s]):res = Trueelse:# case 3: selected > 0，背包i里要放东西selected = swhile selected > 0:prev = s - selectedif weights[selected] <= p and (prev==0 or (i>0 and f[i-1][prev])):res = Truebreakselected = (selected-1) & sf[-1].append(res)if f[-1][M-1]:return Truereturn f[-1][M-1]

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