二分查找法和Fibonacci查找

一、简要介绍二分查找算法

二分查找算法(Binary Search)是一种非常经典且有用的查找算法，它适用于有序数组的元素查找，并且思路简单，能够用非常简洁的代码来将其实现，经典版本的二分查找算法最优情况下的时间复杂度为O(1)，最坏情况下的复杂度为O(lgN),平均时间复杂度也仅为O(lgN)。

在时间复杂度上更加优秀的算法不是太多，如hash table通过空间换时间的得到O(1)的时间复杂度，以及在二分法思想上进行改进的插值查找算法得到的O(lg(lgN))的时间复杂度(对数据的分布有一定的要求，不够稳定)。

二、二分查找算法的实现

2.1二分法的算法思想

1)若数组不为空(beg < end)，获取位于数组中间的元素(mid)，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束，否则进入下一步；

2)判断关键值是否大于还是小于中间元素，以中间元素为界，若关键值小于vec[mid]，则进入前半段[beg,mid)，否则进入后半段[mid+1, end)。

3)若数组为空，则数组中不存在等于该关键字的元素，返回-1，意味着不存在这样的下标。

2.2版本A

版本A时二分法算法思想的直接体现。在实现时，需要注意避免溢出的风险

int mid = (beg + end) >> 1//规避溢出风险并且理论上移位比除法快一些(写/2也没关系，编译器会帮你做出优化的)

#include<vector>
using namespace std;
int BinarySearchA(vector<int> vec, int beg, int end, int val) {int ret = -1;//如果查找不到所需要的值后，返回-1while (beg < end) {//规避溢出的风险， int mid = (beg + end) >> 1,在 beg + end的时候可能溢出。int mid = beg + (end - beg) >> 1;if (val < vec[mid])end = mid;else if (vec[mid] < val)beg = mid + 1;else {ret = mid;break;}}return ret;
}

这个版本在最好的情况时间复杂度为O(1)，即第一次就命中要查找的元素。但是为了得到O(1)这种结果，我们的循环中有两个判断语句。让我们看一下在平均状况下会发生些什么。

1)当val < vec[mid]，我们只需进行一次判断 2)当vec[mid] <= val时我们需要进行两次判断。

也就是说但val在左半区间和在右半区间的所计算的次数是不一样的，这会让平均情况下的复杂度变坏。

假设val在左半区间和右半区间的概率是相同的，那么我们估算下我们平均情况下的时间复杂度，则为 1/2 * lgn + 1/2 * 2 * lgn = 1.5lgn(这是由最坏情况估算出来的，所以实际系数可能要稍微再小一些但是仍>1)。

如果你觉得我们的运气没有足够好，以至于不能够经常一次命中的话。我们不妨牺牲掉最好的情况(不再有提前命中了)，从而降改进下lgn的系数。从而可以得到版本B。

2.3版本B

因为循环的结束条件只剩下了一个 (end - beg) > 1,该版本已经无法因为提前命中而退出了，但是向左折半和向右折半的代价却都变成1次判断了。

版本的改变关键在于对不变式的设计：(val < vec[mid]) ? end = mid : beg = mid;

下边我们就来论证每一次迭代[beg， end)的长度均会缩小。mid = beg + (end - beg)/2 或是 mid = end - (end-beg)/2，所以当循环条件(end - beg) > 1为真时，beg < mid < end. 所以(end - mid) 和 (mid - beg)的值总是小于(end - beg)的。所以论证结束。所以循环迟早会结束。循环结束以后beg是不小于val的元素中秩最高的元素的秩，如果它不等于val，则没有元素等于val了，此时返回-1，若等于则返回beg。

int BinarySearchB(vector<int> vec, int beg, int end, int val) {int ret = -1;//如果查找不到所需要的值后，返回-1while (1 < end - beg) {//规避溢出的风险， int mid = (beg + end) >> 1,在 beg + end的时候可能溢出。int mid = beg + (end - beg) >> 1;(val < vec[mid]) ? end = mid : beg = mid;}if (val == vec[beg])ret = beg;return ret;
}

2.3版本C

为了使BinarySearch能够作为其他数据结构的基本模块，我们需要对它进行语义的约定。让它返回的是有序数组中不小于等于val的最后一个元素的秩。与版本B相比，1.循环为真的条件改变了。2.不变式中的beg = mid 改为了 beg = mid + 1。

可能有人会问版本B返回的不也是小于且等于e的最后一个元素的秩吗? 那么版本C的优势在哪里。

我们可以看一下以下这两种情况，当val小于或大于初始区间的所有元素，版本B(这里版本B不再返回-1，直接返回beg)

对于前者返回0，对于后者返回end - 1。版本C则返回的是 -1 和 end -1。

现在我们将二分搜索法用于元素的插入中去:vec.insert(BinarySearch(vec, 0, vec.size()) + 1, val)。

此时若val足够小，则我们插入的位置是 -1+1 = 0。若val足够大，则插入的位置为 end-1 + 1 = end，都是正确的位置。对于版本B的插入位置，前者为1，后者为end。前者的插入位置不正确，需要额外进行处理。所以版本C更符和语义约定的要求，可以更好的做为其他结构或算法的基本模块而被使用。

int BinarySearchC(vector<int> vec, int beg, int end, int val) {while (beg < end) {//规避溢出的风险， int mid = (beg + end) >> 1,在 beg + end的时候可能溢出。int mid = beg + (end - beg) >> 1;(val < vec[mid]) ? end = mid : beg = mid + 1;}return --beg;
}

三、改进算法- Fibonacci 搜索

二分查找将数组从中间折半，是一种非常自然的想法，但是通过数学的推导，借助Fibonacci数列来为数组进行分割是一种更好的分割方式，能够略微降低logn的常系数。不过既然Fibonacci数列不是一种自然的想法，它的实现比起二分查找可能就略显复杂:你得计算Fibonacci数列，以及需要额外的循环找到合适的Fibonacci数，在部分实现中还需要对数组进行扩增。

理想的Fibonacci Search算法对应的数组长度应该真好是某个Fib(n)，分割点则为beg + Fib(n-1),网上有许多五花八门的实现大家感兴趣的可以自己参考。

//参考学堂在线邓俊辉老师的《数据结构(上)》的代码
template<typename T>
int fibSearch(vector<T> *v, const T &e, int beg, int end) {//Fib类的细节忽略Fib fib(end - beg);while (beg < end) {//找到刚好小于end - beg的Fibnacci数(额外引入的循环)while ((end - beg) < fib.get()) fib.prev();int mid = beg + fib.get();if (e < v[mid]) end = mid;else if (v[mid] < e) beg = mid + 1;elsereturn mid;}return -1;
}

既然实现Fibnacci Search用到了相对复杂的代码，这些代码中的操作又增加了程序运行的时间成本，那么Fibnacci Search在理论上的常系数的优化真的能够在实际意义上更快吗？这是有可能的，

原因主要有以下两点:

一、当关键字的比较是一些复杂的类型(本代码用模板函数实现就是为了强调这一点)时，复杂类型的比较操作将耗费更多的时间，这时更少的关键字比较次数所节约的时间就可能超过那些额外的操作带来的时间成本(这些操作无非是int类型的运算或比较)。

二、当数组长度很大时，内存中一下不能读取那么多元素，采用折半查找两次元素读取下标的间距相对于Fibonacci分割的间距而言更大，更不易命中，当不命中现象发生时，需要从硬盘中读取数据到内存，这也是非常耗时的，所以Fibonacci Search在这点上较有优势。

但是一般情况下，还是更推荐使用二分搜索。

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