介绍

假设检验是统计学中非常重要的一块内容，在现实生活中也有非常多的实际应用，比如A/B test时需要去评估实验组和对照组之间的差异是否显著。在这篇文章中，我会介绍常见的假设检验方法以及它们的应用场景，OK，我们开始。

t分布

在介绍t-检验前，我们先来简单介绍一下t分布。t分布主要用于描述样本统计量的分布，比如最典型的样本均值的分布。其分布总体呈现对称的形状，同时也受到sample size(或者说自由度)的影响，sample size越大，t分布越偏向于正态分布。当sample size趋向于无穷大时，t分布也趋近于正态分布。

根据中心极限定理，无论总体呈怎样的分布，样本统计量的分布均会趋于正态分布。比如当总体是正态分布时，样本均值的分布会趋向于N(mu,sigma^2/n),其中mu代表总体的期望，sigma^2代表总体的方差，n代表样本容量。假设某个样本均值为X_bar,我们对其标准化后，可以构建z-statisitc, 即(X_bar-mu)/(sigma/sqrt(n)),其符合标准正态分布。但是在一般情况下，总体的标准差sigma是未知的，我们往往用样本的方差s来代替它，从而得到我们的t-statistic的表达式(X_bar-mu)/(s/sqrt(n))，该统计量符合t分布。

t检验

上面我们说了t分布，在这一部分，我们来说一下如何基于t分布来进行t检验。

1.单样本的均值检验，
含义：即检验单样本的均值是否和已知总体的均值相等。
前提：a.总体方差未知，否则我们可以直接使用Z检验。
b.样本数据正态分布或近似正态分布

检验目标：H0:样本均值与总体均值相等
H1:样本均值与总体均值不等（双侧）

记总体的均值为mu,方差为sigma^2,如果样本Xi=1,2,3…,n服从整体的分布，我们有

借助卡方分布的重要结论

我们对(1)式和(2)式做如下操作，其实就是t统计量的计算公式，即一个t变量就是一个标准正态分布除以卡方分布变量除以自由度再开根号的结果。

可以得到

根据我们的样本均值X_bar，样本容量n以及样本标准差s，我们计算t-statistic的值，然后根据我们事先给定的显著性水平，比如0.05，自由度n-1以及问题是单侧还是双侧检验，查表找到对应的临界值，通过比较对应问题的t-statistic的值和临界值，得到对应的结论。

2.双独立样本的均值检验
含义：检验两独立样本的均值是否相等。
前提：两样本独立，服从正态分布或近似正态分布。

情况一：总体方差相等且未知。
记总体方差为sigma=sigma1=sigma2

为了检验两组样本背后的总体均值相等（null hypothesis),我们计算样本均值差的分布。

同样的，根据卡方变量的结论

因为两分布独立，根据卡方的可加性，我们有

同样的，我们利用标准正态分布和卡方分布，构造对应的t-statistic

其中的sp为两样本的合并标准差，其表达式如下

计算对应的t-statistic的值，并根据给定的显著性水平和相应的自由度查表得到对应的临界值，与t-statistic做比较得到最终的结论。

情况二：总体方差不等且未知。
我们使用如下的统计量

其自由度为

其中v1=n1-1,v2=n2-1分别是X1,X2的自由度。

除此之外，常见的还有配对样本均值检验以及回归系数的显著性检验都应用t检验，限于本文的篇幅，不再继续探讨，感兴趣的朋友可以看一下这篇文章。

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