让高中生理解卷积——从多项式乘法开始

1.从多项式乘法到卷积和

这里有两个多项式：

$\begin{align*} \\f(x)&=...+a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+a_{m-2}x^{m-2}+...+a_1x+a_0+a_{-1}x^{-1}+... \\ g(x)&=...+b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_1x+b_0+b_{-1}x_{-1}+... \end{align*}$

两个多项式相乘

$h(x)=f(x)\cdot g(x)=...+c_rx^r+c_{r-1}x^{r-1}+c_{r-2}x^{r-2}+...+c_1x+c_0+c_{-1}x^{-1}+...$

看一下h(x)的0次方项的系数是怎么算的

$c_0=...+a_{-2}b_2+a_{-1}b_1+a_0b_0+a_1b_{-1}+a_2b_{-2}+...$

你会发现，在求c0时，这个等式的右边的每一项都是数列 $\{a_m\}$ 中的某一项和数列 $\{b_n\}$ 中的某一项相乘，而且任何一对乘在一起的a和b，它们在数列中的下标的和，刚好是所求的c的下标0。

同样的,h(x)的3次方项

$\begin{align*} c_3&=...+a_{-2}b_5+a_{-1}b_4+a_0b_3+a_1b_2+a_2b_{1}+a_3b_0+a_4b_{-1}+a_5b_{-2}...\\ &=\sum _{i=-\infty}^{\infty}a_ib_{3-i} \end{align*}$

同样的，这个等式的右边的每一项都是数列 $\{a_m\}$ 中的某一项和数列 $\{b_n\}$ 中的某一项相乘，而且任何一对乘在一起的a和b，它们在数列中的下标的和，刚好是所求的c的下标3。

再举一个负数次方项的例子，h(x)的-2次方项

$\begin{align*} c_{-2}&=...+a_{-4}b_{2}+a_{-3}b_{1}+a_{-2}b_0+a_{-1}b_{-1}+a_0b_{-2}+a_1b_{-3}+...+a_{2}b_{-4}+...\\ &=\sum _{i=-\infty}^{\infty}a_ib_{-2-i} \end{align*}$

这个式子当中，任何一对乘在一起的a和b，它们在数列中的下标的和，刚好是所求的c的下标-2

然后，推广到一般情况

$\begin{align*} c_{r}&=...+a_{r+2}b_{-2}+a_{r+1}b_{-1}+a_{r}b_0+a_{1}b_{r-1}+a_2b_{r-2}+a_3b_{r-3}+...+a_{r-1}b_{1}+a_rb_0+a_{r+1}b_{-1}+...\\ &=\sum _{i=-\infty}^{\infty}a_ib_{r-i} \end{align*}$

如果把数列 $\{a_m\}$ 和 $\{b_n\}$ 当作序列，这就是序列a和序列b的卷积和公式

由此可以推出结论：

两个多项式f与g相乘的结果的系数序列，就是f和g各自的系数序列的卷积。

卷积其实是一种“附带了位置信息”的乘法。

P.S.

1.实际上，在matlab中以系数向量表示的两个多项式相乘，用到的函数conv(),其实就是卷积函数，"conv"是“卷积”的英文"convolution"的缩写

2.如果把以上所有式子中的x化妆成为z,上述推导过程其实就是论证Z变换的性质之一“时域卷积对应于z域相乘”的过程

2.从离散的卷积和到连续的卷积积分——matlab的启发

再举一个连续的例子：

这里有两个函数

$y_1= \left \{ \begin{aligned} &sin\ x\qquad (0<x \leq 2\pi) \\ &0\qquad others\\ \end{aligned} \right. \qquad(1)$

$y_2= \left \{ \begin{aligned} &cos\ x\qquad (0<x\leq 2\pi) \\ &0\qquad others\\ \end{aligned} \right. \qquad (2)$

现在我们先看一下在电脑如何画出这两个图的

新版的matlab有fplot()函数,可以实现像几何画板或者是Geogebra之类直接将函数表达式转化为图像的功能。

但是老版本的matlab，还是要通过离散进行逼近——这是更接近于计算机本质的表示方法，就跟计算机画圆一样

             %“%”符号后面跟着注释x=0:0.01:pi; %向量x=(0,0.01,0.02,...,3.13,3.14) ,记住这种写法%中间的%跟python不同，matlab里的步长是写在中间的y1=sin(x);    %将x的每一个值代入正弦函数，得到对应的y向量（数列）%即    向量 y1=(sin(0),sin(0.01),sin(0.02),...sin(3.13),sin(3.14))y2=cos(x);    %同样地，将x的每一个值代入余弦函数，得到对应的y向量（数列）%即    向量 y2=(cos(0),cos(0.01),cos(0.02),..cos(3.13),cos(3.14))plot(x,y1);  %将向量x中每一个维度的值与对应的y在同一维度的值，即(0,sin(0)),(0.01,sin(0.01))...,(3.14,sin(3.14))这些点%在坐标系中标出，然后用折线连起来%由于x内的相邻两项的值都“挨得很近”，相差很小（即步长很小）%画出来的图形与真正的正弦函数“看不出区别”

如果计算机需要画出y1(x)和y2(x)的卷积积分，计算机就会试着计算上述代码段中向量y1和向量y2的卷积和，就是拿出下面两个多项式,即(3)和(4)相乘,得到一个新的多项式，再取其各项系数作为结果向量，再按照上面注释提到的方法画图。

$\begin{align*} \\Y_1(z)&=y_1\left ( 0 \right )z^0+y_1\left ( 0.01 \right )z^{0.01}+y_1\left ( 0.02 \right )z^{0.02}+...+y_1\left ( 3.14 \right )z^{3.14} \\ &=sin\left ( 0 \right )z^0+sin\left ( 0.01 \right )z^{0.01}+sin\left ( 0.02 \right )z^{0.02}+...+sin\left ( 3.14 \right )z^{3.14} \qquad (3)\\ \\ Y_2(z)&=y_2\left ( 0 \right )z^0+y_2\left ( 0.01 \right )z^{0.01}+y_2\left ( 0.02 \right )z^{0.02}+...+y_2\left ( 3.14 \right )z^{3.14} \\ &=cos\left ( 0 \right )z^0+cos\left ( 0.01 \right )z^{0.01}+cos\left ( 0.02 \right )z^{0.02}+...+cos\left ( 3.14 \right )z^{3.14}\qquad (4)\end{align*}$

在这里可以推广一下：

任何一个连续的函数图像，在其定义域内都可以看作是步长无限趋于0的向量x作为自变量“一个个地带入函数y=f(x)”得到的
y的值所构成的(x,y)的点连成的。这些y也能构成向量。如果y的定义域是 $(-\infty,+\infty)$ 的话，x利用matlab中的写法就是

$-\infty:dx:+\infty\qquad dx=\lim \Delta x$

把f(x)写成类似于(3)的多项式就是：

$F(z)=...+f\left ( -dx \right )z^{-dx}+f\left ( 0 \right )z^{0}+f\left ( dx \right )z^{dx}+f\left ( 2dx \right )z^{2dx}+...\qquad (5)$

卷积积分就是类似于式子(5)的两个多项式相乘,再把得到的多项式的各项系数提取出来，即

$g(x)=f_1(x)*f_2(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x) \cdot f_2(r-x) dr$