Python 与数学

最近闲暇时间买了套卓里奇的《数学分析》在重温数学分析。之前也通过《流畅的 Python》自学了 python。发现 python 里很多都可以用数学来理解。所以打算开个预期两年的坑，把数学分析用 python 去理解。
当然对于两方面相对来说都是初学者，欢迎大家一起讨论学习。
代码块 为 python 代码， LaTeX \LaTeX LATEX 为数学表达式

通用的数学概念及记号

基本运算

中文	LaTeX \LaTeX LATEX	LaTeX \LaTeX LATEX代码	Python 代码	备注
非	¬ \neg ¬	`\neg`	`!`,`not`	`!` 对比两者值,`not` 对比两者内存(若为可变量有区别)
与	∧ \land ∧	`\land`	`&`,`and`	若做数值对比,`&` 表示位运算,`and` 含0，返回0；均为非0时，返回后一个值
或	∨ \lor ∨	`\lor`	`\|`,`or`	若做数值对比, `\|` 表示位运算, `or` 至少有一个非0时，返回第一个非0
蕴含	⇒ \Rightarrow ⇒	`\Rightarrow`
等价	⇔ \Leftrightarrow ⇔	`\Leftrightarrow`	`==`
属于	∈ \in ∈	`\in`	`in`
存在	∃ \exists ∃	`\exists`
可以找到	∀ \forall ∀	`\forall`	`for`

# 小练习
# 0 为真 1 为假 设定命题
A = (0,1)
print(f'¬A\n| A | 0 | 1 |\n|¬A | {int(not A[0])} | {int(not A[1])} |\n')
B = (0,1)
print(f'A and B\n| A\B | 0 | 1 |\n|  0  | {int(A[0] and B[0])} | {int(A[0]and B[1])} |\n|  1  | {int(A[1]and B[0])} | {int(A[1]and B[1])} |')

¬A
| A | 0 | 1 |
|¬A | 1 | 0 |A and B
| A\B | 0 | 1 |
|  0  | 0 | 0 |
|  1  | 0 | 1 |

C = {1,2,3,4}
print(f'C : {C}\n1 in C: {1 in C}')

C : {1, 2, 3, 4}
1 in C: True

集合

集合在 Python 中应该是可以理解为 set。 ’由若干确定的、有充分区别的、具体或抽象合并而成的一个整体‘ —— 格奥尔格·康托尔描述集合的概念。
在 Python 中 set 为无序的，有序的集合为 tuple，其中set 可变、 tuple 不可变
set 集合 : set()、{A,B} { A , B } \{A, B\} {A,B}
tuple 元组 : (A,B) ( A , B ) (A, B) (A,B) 因其不可变所以有序
按照定义 ( A , B ) = ( C , D ) (A,B) = (C,D) (A,B)=(C,D) 表示 A = C A=C A=C 且 B = D B=D B=D。若 A ≠ B A \neq B A=B 则 ( A , B ) ≠ ( B , A ) (A, B) \neq (B,A) (A,B)=(B,A)
- 需要注意的是 (A, B) = (B,A) 并不是 ( A , B ) = ( B , A ) (A, B) = (B,A) (A,B)=(B,A) 代码里的 = 为赋值
称 { A , B } \{A, B\} {A,B} 为偶，若有序为有序偶 ( A , B ) (A, B) (A,B)

# 无序
A = {0,1}
B = {1,0}
print(f'set 无序\nA == B: {A == B}\nB == A: {B == A}')

set 无序
A == B: True
B == A: True

# 有序
A = (0,1)
B = (1,0)
print(f'tuple 有序\nA == B: {A == B}\nB == A: {B == A}')

tuple 有序
A == B: False
B == A: False

笛卡尔积

直积、笛卡尔积 X × Y : = { ( x , y ) ∣ ( x ∈ X ) ∧ ( y ∈ Y ) } X \times Y :=\{(x,y)\vert\ (x\in X)\land (y\in Y)\} X×Y:={(x,y)∣ (x∈X)∧(y∈Y)} 由属于X与Y的全部续偶组成。
这就是笛卡尔平面坐标系，全部由序偶 ( x , y ) (x,y) (x,y) 组成

# 简单起见 设X、Y为三个元素
X = {2,1,3}
Y = {3,1,2}
Descartes = {(x,y) for x in Xfor y in Y}
print('Descartes: ', Descartes)

Descartes:  {(1, 2), (3, 2), (1, 3), (3, 3), (3, 1), (2, 1), (2, 3), (2, 2), (1, 1)}

一般而言 X × Y ≠ Y × X X\times Y\neq Y\times X X×Y=Y×X 仅当 X = Y X = Y X=Y 时才成立，这时 X × X X\times X X×X 简写为 X 2 X^2 X2

函数

函数为映射概念
设 X , Y X, Y X,Y 为两个集合
如果集合 X X X 的每一个元素 x x x 按照某个规律 f f f 与集合 Y Y Y 的元素 y y y 相对应，我们就说有一个函数，它定义于 X X X 并取值于 Y Y Y
X X X 为定义域， x x x 为函数的变元或自变量
而自变量 x x x 的具体值 x 0 ∈ X x_0 \in X x0∈X 相对应的元素 y 0 ∈ Y y_0\in Y y0∈Y 称为元素 x 0 x_0 x0 上的函数值，并表示为 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)，一般而言 y = f ( x ) ∈ Y y=f(x)\in Y y=f(x)∈Y 随 x x x 的值变化而变化，因此称为因变量。

f : X → Y , X → f Y f: X \to Y, X\overset{f}{\to} Y f:X→Y,X→fY

def f(x:str)->str:return 'y'+x[1:]X = {'x_0','x_1','x_2'}
Y = {f(x) for x in X}
print('Y: ', Y)

Y:  {'y_0', 'y_1', 'y_2'}

# 若为有序
X = ['x_0','x_1','x_2']
Y = [f(x) for x in X] # 因tuple 为不可变 这里使用 list
for i in range(len(X)):print(X[i],'→',Y[i])

x_0 → y_0
x_1 → y_1
x_2 → y_2

由于是我大晚上看书心血来潮所以今天就先写到这。。。

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