素数(质数)判断的五种方法
素数判断的五种方法
素数判断是我们写程序过程中经常遇见的一个问题,于是今天我简单地整理一下常用的素数判断的方法。
素数的介绍
素数定义
质数(prime number)又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。
根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。
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第一种:暴力筛选法
思路分析
根据素数的定义,我们可以简单地想到:若要判断n是不是素数,我们可以直接写一个循环(i从2到n-1,进行n%i运算,即n能不能被i整除,如被整除即不是素数。若所有的i都不能整除,n即为素数)。
代码实现
boolean isPrime(int n){for(int i=2;i<n;i++){//如果n被i整除,则返回falseif(n%i==0){return false;break;}}return true; // 反之则返回true
}
时间复杂度:O(n)
这时间复杂度一看就不咋乐观,于是我们简单优化一下。
boolean isPrime(int n){for ( i=2; i<=(int)sqrt(n); i++ ){//如果n被i整除,则返回falseif(n%i==0){return false;break;}}return true; // 反之则返回true
}
时间复杂度:O(sqrt(n))
优化原理:素数是因子为1和本身, 如果num不是素数,则还有其他因子,其中的因子,假如为a,b.其中必有一个大于sqrt(num) ,一个小于sqrt(num) 。所以必有一个小于或等于其平方根的因数,那么验证素数时就只需要验证到其平方根就可以了。即一个合数一定含有小于它平方根的质因子。
第二种:素数表筛选法
素数表筛选法一看名字就知道是将素数存到一个表中,然后对需要判断的数在表中查找,找了就是素数,找不到的即不是素数。
思路分析
如果一个数不能整除比它小的任何素数,那么这个数就是素数
顺便嘀咕一句,这种方法的效率贼低,看看就好,学习一下思路就行。
代码实现
/*target:要查询的数字count:素数表中素数的个数PrimeArray:素数表数组
*/
boolean isPrime(int target, int count, int[] PrimeArray){for (i = 0; i < count; i++){if (target % PrimeArray[i] == 0){return false;break;}}return true;
}
时间复杂度:O(n)
第三种:埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法
思路分析
创建一个比范围上限大1的数组,我们只关注下标为 1 ~ N(要求的上限) 的数组元素与数组下标对应。
将数组初始化为1。然后用for循环,遍历范围为:[2 ~ sqrt(N)]。如果数组元素为1,则说明这个数组元素的下标所对应的数是素数。
随后我们将这个下标(除1以外)的整数倍所对应的数组元素全部置为0,也就是判断其为非素数。
这样,我们就知道了范围内(1 ~ 范围上限N)所有数是素数(下标对应的数组元素值为1)或不是素数(下标对应的数组元素值为0)
例子(N=25)
详细列出算法如下:
1、列出2以后的所有序列:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2、标出序列中的第一个素数,也就是2,序列变成:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3、将剩下序列中,划掉2的倍数,序列变成:
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
4、如果这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方,那么剩下的序列中所有的数都是素数,否则回到第二步。
5、本例中,因为25大于2的平方,我们返回第二步:
6、剩下的序列中第一个素数是3,将主序列中3的倍数划掉,主序列变成:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
7、我们得到的素数有:2,3
8、25仍然大于3的平方,所以我们还要返回第二步:
9、序列中第一个素数是5,同样将序列中5的倍数划掉,主序列成:
2 3 5 7 11 13 17 19 23
10、我们得到的素数有:2,3,5 。
11、因为23小于5的平方,跳出循环。
结论:2到25之间的素数是:2 3 5 7 11 13 17 19 23。
代码实现
/*target:要查询的数字isprime:素数数组,大小至少为n+1n:数值上界
*/
boolean isPrime(int target,int[] isprime, int n){isprime[2]=0;int k=2,tt=0;while(tt<n+1){for(int i=1; i<isprime.length; i++){ //将不是素数的数筛出if(i%k==0&&i!=k) isprime[i]=1;}for(int i=1; i<isprime.length; i++){ //将筛选后的第一个数当做新的筛子if(i>k&&isprime[i]==0){k=i;break;}}tt++;}if(isprime[target]==1)return true;else return false;
}
时间复杂度:O(n^3)
第四种:线性筛选–欧拉筛法
思路分析
在埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法的基础上,让每个合数只被它的最小质因子筛选一次,以达到不重复的目的。
代码实现
void PrimeList(int* Prime, bool* isPrime, int n) {int i = 0, j = 0, count = 0;if (isPrime != NULL) {//确保isPrime不是空指针//将isPrime数组初始化为 1for (i = 2; i <= N; i++) {isPrime[i] = true;}}if (isPrime != NULL && Prime != NULL) {//从2遍历到范围上限Nfor (i = 2; i <= N; i++) {if (isPrime[i])//如果下标(下标对应着1 ~ 范围上限N)对应的isPrime值没有被置为false,说明这个数是素数,将下标放入素数数组Prime[count++] = i;//循环控制表达式的意义:j小于等于素数数组的个数 或 素数数组中的每一个素数与 i 的积小于范围上限Nfor (j = 0; (j < count) && (Prime[j] * (long long)i) <= N; j++)//将i强制转换是因为vs上有warning,要求转换为宽类型防止算术溢出。数据上不产生影响{isPrime[i * Prime[j]] = false;//每一个素数的 i 倍(i >= 2)都不是素数,置为false//这个是欧拉筛法的核心,它可以减少非素数置false的重复率//意义是将每一个合数(非素数)拆成 2(最小因数)与最大因数 的乘积if (i % Prime[j] == 0)break;}}}
}
时间复杂度:O(n)
第五种:欧拉筛法优化
由上面欧拉筛法的代码可见,欧拉筛法的代码也挺臃肿的,于是我们简单优化一下。
代码实现
boolean isPrime(int num) {if (num <= 3) {return num > 1;}// 不在6的倍数两侧的一定不是质数if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) {return false;}int sqrt = (int) Math.sqrt(num);for (int i = 5; i <= sqrt; i += 6) {if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) {return false;}}return true;
}
结束语
本文部分参考以下文章:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/104314640
如有问题,欢迎留言交流,共同进步
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