求两个自然数的最大公约数

方法一：用短除法找出这两个自然数的所有公因子，将这些公因子相乘，得到这两个数的最大公约数

function getGDC(m,n){var gdc=1;for(var i=2;i<=m&&i<=n;i++){while(m%i==0&&n%i==0){gdc=gdc*i;m=m/i;n=n/i;}}return gdc;
}

方法二：用欧几里得算法，其基本思路是将两个数辗转相除直到余数为0

function getGDC(m,n){var r=m%n;while(r!=0){m=n;n=r;r=m%n;}return n;
}
/*使用递归代替循环
function getGDC(m,n){if(m%n==0){return n;}else{return getGDC(n,m%n);}
}*/

证明欧几里得算法

证明 GDC(a,b)=GDC(b,a mod b)，其中a>b

令 r=a mod b，a可以被表示为 a=k* b+r ，r可以被表示为 r=a-k* b

假设d为（a,b）的一个公约数，即a和b都可以被d整除，则有 r/d=a/d-k *b/d

由等式右边可知 r/d 是一个整数，即d是r的一个约数，d是（b,a mod b）的一个公约数

因为（a,b）和（b,a mod b）的公约数相等，其最大公约数也相等

在编写代码时不用考虑让较大的数做被除数，较小的数做除数，因为若被除数小于除数，则余数为被除数，下次计算时的被除数就是较大数，除数是较小数。相较于被除数大于除数的情况只多了一次计算。

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