FOJ 1012 Relatives

来源：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1012

概述：计算不大于n而和n互素的正整数的个数。

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参考文献：陈景润，《初等数论II》第五章，百度网盘下载，以下截图均来自参考文献。

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理论分析

其实，题目要计算的正是欧拉函数：

推导和详细内容，可以参阅《初等数论II》，这里只需记住该结论：

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编程求解

关键是写出欧拉函数。

1、函数命名上，常见的是euler，也可以使用希腊字母φ的拉丁语写法:phi。这里我用euler，而以后如果要保存返回值，变量名用phi。

2、找n的质因数：利用《数论》里的知识，n最小的约数一定是它的质因数。ans记录答案，先初始化为1。i从2开始遍历，每找到一个质因数，ans先自乘i-1，n自除i，然后进入while循环，判断该质因数的次幂大小。当i*i>n时，n不能再分解为两个及以上约数相乘，故跳出循环。然后要判断n是否不等于1，即最后的n本身也是一个的质因数时，ans需要自乘n-1。

#include <cstdio>
using namespace std;int euler(int n)
{int i, ans = 1;for (i = 2; i*i <= n; i++){if (n%i==0){ans *= i-1, n /= i;while (n%i==0) ans *= i, n /= i;}}if (n!=1) ans *= n-1;return ans;
}int main()
{int n;do{scanf("%d", &n);if (n) printf("%d\n", euler(n));else break;}while (1);return 0;
}

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扩展应用：欧拉函数在以后的快速幂模运算中将会有大用场，记得保存好该模板。

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