图像梯度的解释及相关梯度算子的实现

本文将介绍图像梯度的应用以及一些相关梯度算子的实现

一、什么是梯度？

梯度不是一个实数，它是一个有大小有方向的向量。现在以一个二元函数举例，假设一个二元函数f(x,y)，在某点的梯度有：

整理后得到：

其实就是它的方向导数。梯度的方向是函数变化最快的方向，沿着梯度的方向容易找到最大值。

二、图像梯度

在一副模糊图像中的物体的轮廓不明显，轮廓边缘灰度变化不强烈，从而导致层次感不强，而在清晰图像中的物体轮廓边缘灰度变化明显，层次感强。那么这种灰度变化明显不明显怎么去定义呢？

可以使用导数（梯度），衡量图像灰度的变化率，因为图像就是函数。正因如此，我们引入的图像梯度可以把图像看成二维离散函数，图像梯度其实就是这个二维离散函数的求导。

在上边这幅图中可以看出，如果一副图像的相邻灰度值有变化，那么梯度就存在，如果图像相邻的像素没有变化，那么梯度就是0.

把梯度值和相应的像素相加，那么灰度值没有变化的，像素就没有变化，灰度值变了，像素值也就变了。我们看到，相加后的新图像，原图像像素点100与90亮度只相差10，现在是110与90，亮度相差20了，对比度显然增强了，尤其是图像中物体的轮廓和边缘，与背景大大加强了区别，这就是用梯度来增强图像的原理。将图像函数f(x,y)梯度表达式表示出来：

幅度

ps：mag函数可以将向量转化为浮点数

方向角

对于数字图像来说，相当于是二维离散函数求梯度，使用差分来近似导数：

因此，像素点(x,y)处的梯度值和梯度方向分别是：

这里的平方+开方的，计算量太大，于是一般用绝对值来近似平方和平方根的操作，来降低计算量：

在上述的推论中我们得到，梯度的方向是函数变化最快的方向，所以当函数中存在边缘时，一定有较大的梯度值，相反，当图像中有比较平滑的部分时，灰度值变化较小，则相应的梯度也较小。图像处理中把梯度的模简称为梯度，由图像梯度构成的图像成为梯度图像。

一些经典的图像梯度算法是考虑图像的每个像素的某个邻域内的灰度变化，利用边缘临近的一阶或二阶导数变化规律，对原始图像中像素某个邻域设置梯度算子，通常我们用小区域模板进行卷积来计算，有Sobel算子、Robinson算子、Laplace算子等。

三、经典算子介绍

本文暂且先介绍sobel算子

sobel算子，主要用作边缘检测，是离散差分算子，用来运算图像梯度函数的灰度近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的梯度矢量或者法矢量。

书上的sobel模板不是卷积模板，而是协相关模板，卷积的话要先将模板旋转180度以后再与图像做相关操作。

Gx方向的相关模板：

Gy方向的相关模板：

Sobel的卷积模板Gx：

sobel卷积模板Gy：

具体计算为，每个像素（灰度值）与模板对应位置元素相乘求和（类似于CNN中的卷积，其实是协相关运算），来计算该点灰度的大小：

通常，为了提高效率使用不开平方的近似值：

然后可用以下公式计算梯度方向：

四、算法的实现

1：soble算子

代码：

import cv2 as cv
# sobel算子
def sobel_demo(image):grad_x = cv.Sobel(image, cv.CV_32F, 1, 0) #对x求一阶导,CV_32F输出图像深度grad_y = cv.Sobel(image, cv.CV_32F, 0, 1) #对y求一阶导gradx = cv.convertScaleAbs(grad_x)  # 用convertScaleAbs()函数将其转回原来的uint8形式grady = cv.convertScaleAbs(grad_y)cv.imshow("gradient_x", gradx) #x方向上的梯度cv.imshow("gradient_y", grady)  #y方向上的梯度gradxy = cv.addWeighted(gradx, 0.5, grady, 0.5, 0)  # 图片融合cv.imshow("gradient", gradxy)src = cv.imread('Butterfly.png')
cv.namedWindow('input_image', cv.WINDOW_NORMAL) #设置为WINDOW_NORMAL可以任意缩放
cv.imshow('input_image',src)
sobel_demo(src)
cv.waitKey(0)
cv.destroyAllWindows()

效果图：

2: Scharr算子

Scharr算子是sobel算子的增强版，效果更突出

import cv2 as cv
#Scharr算子(Sobel算子的增强版，效果更突出)
def Scharr_demo(image):grad_x = cv.Scharr(image, cv.CV_32F, 1, 0)   #对x求一阶导grad_y = cv.Scharr(image, cv.CV_32F, 0, 1)   #对y求一阶导gradx = cv.convertScaleAbs(grad_x)  #用convertScaleAbs()函数将其转回原来的uint8形式grady = cv.convertScaleAbs(grad_y)cv.imshow("gradient_x", gradx)  #x方向上的梯度cv.imshow("gradient_y", grady)  #y方向上的梯度gradxy = cv.addWeighted(gradx, 0.5, grady, 0.5, 0)cv.imshow("gradient", gradxy)
src = cv.imread('Butterfly.png')
cv.namedWindow('input_image', cv.WINDOW_NORMAL) #设置为WINDOW_NORMAL可以任意缩放
cv.imshow('input_image', src)
Scharr_demo(src)
cv.waitKey(0)
cv.destroyAllWindows()

效果图：

3：拉普拉斯算子

Laplacian使用了图像梯度，它内部的代码其实是调用了 Sobel 算子的。

Laplacian( )函数其实主要是利用sobel算子的运算。它通过加上sobel算子运算出的图像x方向和y方向上的导数，来得到我们输入图像的拉普拉斯变换结果。

代码如下：

import cv2 as cv
#拉普拉斯算子
def Laplace_demo(image):dst = cv.Laplacian(image, cv.CV_32F)lpls = cv.convertScaleAbs(dst)cv.imshow("Laplace_demo", lpls)
src = cv.imread('1.png')
cv.namedWindow('input_image', cv.WINDOW_NORMAL) #设置为WINDOW_NORMAL可以任意缩放
cv.imshow('input_image', src)
Laplace_demo(src)
cv.waitKey(0)
cv.destroyAllWindows()

效果图：