基于链表实现的珂朵莉树

以下内容基于 CF896C Willem, Chtholly and Seniorious 来介绍。

珂朵莉树实质上是一种可以维护区间上的分裂与合并的数据结构，但要求数据是随机的，或者有大量的随机合并操作，这样才能保证维护的区间个数是一个很小的值。

一开始，我们用不同的节点表示 [1,1],[2,2],...,[n,n][1,1],[2,2],...,[n,n][1,1],[2,2],...,[n,n] 以及该区间上的值。

本题中的“把区间 [l,r][l,r][l,r] 赋值为 xxx”对应着一个合并操作，若随机到的 [l,r][l,r][l,r] 范围比较大，则意味着有大量的节点会合并成一个节点。经测试，在若干次随机合并后，区间个数会骤降至一个稳定的范围（大约几十个），这是理解珂朵莉树的关键。

图例：横轴为操作次数，纵轴为区间个数

数据定义

目前主流的实现是基于 set 来维护节点，但由于平均维护的区间个数很小，set 的优势并不明显。相比之下，链表（或数组）能更简洁地维护分裂与合并操作。

typedef long long int64;struct Block {Block *next; // 链表下一节点int l, r; // 区间范围int64 val; // 区间上的值Block(Block *next, int l, int r, int64 val): next(next), l(l), r(r), val(val) {}bool operator<(const Block &b) const { return val < b.val; }
} *root;

基本操作

分裂区间

void split(int mid) {// 遍历链表for (Block *b = root; b; b = b->next) {// 寻找能包含 mid 和 mid+1 的 [l, r]，将其被拆分成 [l, mid] 和 [mid+1, r]if (b->l <= mid && mid + 1 <= b->r) { b->next = new Block(b->next, mid + 1, b->r, b->val);b->r = mid;break;}}
}

在操作区间时，由于不能只维护区间的一部分，所以下面的操作进行之前都需要预先分裂区间，再完成相应操作。

// 预分裂，保证后续操作在 [l, r] 内部
void prepare(int l, int r) {split(l - 1);split(r);
}

合并区间

void merge(int l, int r, int64 val) {prepare(l, r)// 遍历链表for (Block *b = root; b; b = b->next) {// 寻找区间左端点if (b->l == l) {// 将区间 [b.l, b.r] 修改成 [b.l, r]b->r = r;b->val = val;// 然后寻找与 [b.l, r] 右侧相邻的区间，将当前节点链至该区间Block *tmp = b->next;while (tmp && tmp->l <= r) tmp = tmp->next;b->next = tmp;break;}}
}
// 注：这里没有释放被删除节点的内存，若有需要可自行添加

区间修改与计算

由于数据量很小，枚举整个链表即可。

// 区间更新
void add(int l, int r, int64 val) {prepare(l, r)for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (l <= b->l && b->r <= r) b->val += val;}
}// 区间第 k 小
int64 kth(int l, int r, int k) {prepare(l, r)vector<Block> blocks;for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (l <= b->l && b->r <= r) {blocks.emplace_back(*b);}}sort(blocks.begin(), blocks.end());k--;for (Block b: blocks) {int cnt = b.r - b.l + 1;if (k >= cnt) k -= cnt;else return b.val;}
}// 快速幂
int64 quick_pow(int64 x, int n, int64 mod) {x %= mod;int64 res = 1 % mod;for (; n; n >>= 1) {if (n & 1) res = res * x % mod;x = x * x % mod;}return res;
}// 区间幂和
int64 pow_sum(int l, int r, int n, int64 mod) {prepare(l, r)int64 sum = 0;for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (l <= b->l && b->r <= r) {sum += int64(b->r - b->l + 1) * quick_pow(b->val, n, mod);}}return sum % mod;
}

AC 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;
typedef long long int64;int64 seed;// 生成 [0, n-1] 的随机数
int rand(int n) {int64 ret = seed;seed = (seed * 7 + 13) % int64(1e9 + 7);return int(ret) % n;
}struct Block {Block *next;int l, r;int64 val;Block(Block *next, int l, int r, int64 val): next(next), l(l), r(r), val(val) {}bool operator<(const Block &b) const { return val < b.val; }
} *root;void split(int mid) {for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (b->l <= mid && mid + 1 <= b->r) {b->next = new Block(b->next, mid + 1, b->r, b->val);b->r = mid;break;}}
}void prepare(int l, int r) {split(l - 1);split(r);
}void add(int l, int r, int64 val) {for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (l <= b->l && b->r <= r) b->val += val;}
}void merge(int l, int r, int64 val) {for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (b->l == l) {b->r = r;b->val = val;Block *tmp = b->next;while (tmp && tmp->l <= r) tmp = tmp->next;b->next = tmp;break;}}
}int64 kth(int l, int r, int k) {vector<Block> blocks;for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (l <= b->l && b->r <= r) {blocks.emplace_back(*b);}}sort(blocks.begin(), blocks.end());k--;for (Block b: blocks) {int cnt = b.r - b.l + 1;if (k >= cnt) k -= cnt;else return b.val;}
}int64 quick_pow(int64 x, int n, int64 mod) {x %= mod;int64 res = 1 % mod;for (; n; n >>= 1) {if (n & 1) res = res * x % mod;x = x * x % mod;}return res;
}int64 pow_sum(int l, int r, int n, int64 mod) {int64 sum = 0;for (Block *b = root; b; b = b->next) {if (l <= b->l && b->r <= r) {sum += int64(b->r - b->l + 1) * quick_pow(b->val, n, mod);}}return sum % mod;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int n, m, v_max;cin >> n >> m >> seed >> v_max;root = new Block(nullptr, 0, 0, rand(v_max) + 1);Block *b = root;for (int i = 1; i < n; i++) {b->next = new Block(nullptr, i, i, rand(v_max) + 1);b = b->next;}for (; m; m--) {int op = rand(4) + 1;int l = rand(n), r = rand(n);if (l > r) swap(l, r);int x = op == 3 ? rand(r - l + 1) + 1 : rand(v_max) + 1;prepare(l, r); // 在所有操作前预分裂switch (op) {case 1:add(l, r, x);break;case 2:merge(l, r, x);break;case 3:cout << kth(l, r, x) << '\n';break;default:int64 y = rand(v_max) + 1;cout << pow_sum(l, r, x, y) << '\n';break;}}return 0;
}