【数项级数】无穷个数相加一定是个数吗？

数项级数

引入
- 思考
- 问题转化
定义
- 总结
- 重要的例子
- 练习题

引入

思考

数项级数，其实就是要解决无穷个数相加的问题。
而对于无穷求和的问题，思考：无穷个数相加一定是个数吗？
下面，我们来举几个例子：

1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 n + 2 n + 1 . . . 1+2+2^2+2^3+2^4+ ...+2^n+2^{n+1}... 1+2+22+23+24+...+2n+2n+1...
这无穷个数字相加，是个数吗？
好，我们可以先假设，是一个数，且为A。
（如果是个数，那么满足加法结合律、交换律、分配律）
那么 2 A = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 n + 2 n + 1 + . . . 2A=2+2^2+2^3+...+2^n+2^{n+1}+... 2A=2+22+23+...+2n+2n+1+...
将A代入上面等式，可得，
2 A = A − 1 < = > A = − 1 2A=A-1<=>A=-1 2A=A−1<=>A=−1
这是一件不可能的事情。所以上述无穷个数相加不是一个数。
1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + . . . + 1 2 n + . . . 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}+... 1+21+221+231+...+2n1+...
和上面例子一样，我们假设，并记和为A
那么 2 A = 2 + 1 + 1 2 + 1 2 2 + . . . + 1 2 n + . . . 2A=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}+... 2A=2+1+21+221+...+2n1+...
即 2 A = 2 + A < = > A = 2 2A=2+A<=>A=2 2A=2+A<=>A=2
这个数字看起来也合理，所以这个例子无穷多个数相加为2。
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…
同样，我们假设上述和为A，既然它是个数，那么就满足数的运算法则即交换律，结合律，分配律，这里重点运用结合律。
我们可以这样结合
(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…
无穷多个0相加依旧是0。
我们也可以这样结合：
1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)-…-(1-1)…
从第二项开始的每一括号内运算都为0，无穷多个0相加的结果依旧是0，所以这样结合此时和为1。
而一个式子相加，不可能有两个结果。

问题转化

研究无穷多个数相加，转换问题，其实“无穷”就是在取极限。
当有了这种思想后，我们可以对有限个数字求和，求其前n项和，这样做的好处是，它一定是个数，我们可以利用有限求和的一些运算规则，对于特定问题的公式等等…

随着n的不同，无穷多个数相加起来的和也不同，也就是随着n的取值的不同，一系列的和就构成一个数列。
那我们就研究这个数列，若n趋于无穷时，看这个数列，是否收敛到某一值，即问题转换为数列是收敛的还是发散的。

那么我们看上述举的第二个例子，我们假设其前n+1项和（它一定是个数）为 S n + 1 S_{n+1} Sn+1, S n = 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + . . . + 1 2 n = 1 − 1 2 n + 1 1 − 1 2 = 2 − 1 2 n S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^n} Sn=1+21+221+231+...+2n1=1−211−2n+11=2−2n1 ,我们会发现，随着我们加的项越来越多，即n越来越大，这个值就越来越逼近于2。

所以由数列极限可以知道， lim ⁡ n → + ∞ S n = 2 。 \lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=2。 limn→+∞Sn=2。
所以此数列，它收敛到一个数，2，所以此时就定义这个数（2）是这个无穷多个数加起来的和。

那我们再来看上面的第一个例子，求其前n+1项和： S n + 1 = 1 − 2 n + 1 1 − 2 = 2 n + 1 − 1 S_{n+1}=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1 Sn+1=1−21−2n+1=2n+1−1这个值是趋于无穷的，且随着n的增大，多加一项，就多往无穷再多走一次。这个数列是发散的，所以这个 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 n + . . . 1+2+2^2+2^3+...+2^n+... 1+2+22+23+...+2n+...不是一个数。

对于上面的第三个例子， A n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + . . . + ( − 1 ) n − 1 A_{n}=1-1+1-1+1+...+(-1)^{n-1} An=1−1+1−1+1+...+(−1)n−1
当n为偶数时，A=0；当n为奇数时，A=1。
此数列的两个子列的极限值不同，故发散，故原无穷多个数相加也不是一个数。

定义

无穷级数的定义：
前n项部分和：

（注：无穷级数不一定是个数，若无穷级数收敛，则是个数。）
若部分和 S n {S_{n}} Sn收敛，并记 lim ⁡ n → + ∞ S n = S \lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=S limn→+∞Sn=S,则称无穷级数收敛于S,记为 ∑ n = 1 + ∞ a n = S 。 \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}=S。 ∑n=1+∞an=S。

总结

所以数项级数，其实本质就是对于有限项求和，然后对于随着n的不同的取值，构成一个数列，判断无穷级数是否收敛（即相加是否为一个数），就是在判断构成的数列是否收敛到某个值。

重要的例子

1.调和级数
∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 1 n + . . . \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+... ∑n=1∞n1=1+21+31+41+...+n1+...是发散的。
2.等比级数
设 ∣ q ∣ < 1 , ∑ n = 0 ∞ = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n = 1 − q n 1 − q \lvert q\rvert<1,\sum_{n=0}^{\infty}=1+q+q^2+q^3+...+q^n =\frac{1-q^n}{1-q} ∣q∣<1,∑n=0∞=1+q+q2+q3+...+qn=1−q1−qn，前n项部分和，当n趋于无穷时， S n = 1 1 − q S_{n}=\frac{1}{1-q} Sn=1−q1
所以，当 ∣ q ∣ < 1 时，等比级数是收敛的。 \lvert q \rvert<1时，等比级数是收敛的。 ∣q∣<1时，等比级数是收敛的。
3. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} ∑n=1∞n21
证明其收敛如下：

练习题

建议自己先做一下哦！
下面是我自己的过程（仅作参考），若有哪里不太合适，欢迎指出！

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下一篇将继续补充柯西收敛准则。
正项级数、交错级数持续更新…