【数字电子技术基础】逻辑代数基本运算公式证明

参考书目：《数字电子技术基础》第三版.侯建军.高等教育出版社

名称	公式1	公式2
0-1律	A⋅1=AA⋅0=0A\cdot 1=A \\ A\cdot 0=0A⋅1=AA⋅0=0	A+0=AA+1=1A+0=A \\ A+1=1A+0=AA+1=1
互补律	A⋅A‾=0A\cdot \overline{ A}=0A⋅A=0	A+A‾=1A+\overline{A}=1A+A=1
重叠律	A⋅A=AA \cdot A=AA⋅A=A	A+A=AA+A=AA+A=A
交换律	AB=BAAB=BAAB=BA	A+B=B+AA+B=B+AA+B=B+A
结合律	A(BC)=(AB)CA\left(BC\right)=\left(AB\right)CA(BC)=(AB)C	A+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+C
分配律	A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC	A+B⋅C=(A+B)⋅(A+C)A+B\cdot C=(A+B)\cdot (A+C)A+B⋅C=(A+B)⋅(A+C)
反演律	AB‾=A‾+B‾\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}AB=A+B	A+B‾=A‾⋅B‾\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}A+B=A⋅B
吸收律	A(A+B)=AA(A‾+B)=AB(A+B)(A‾+C)(B+C)=(A+B)(A‾+C)A(A+B)=A\\ A\left(\overline{A}+B\right)=AB\\ (A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A+B)(\overline{A}+C)A(A+B)=AA(A+B)=AB(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)	A+AB=AA+A‾B=A+BAB+A‾C+BC=AB+A‾CA+AB=A\\ A+\overline{A}B=A+B\\ AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}CA+AB=AA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC
还原律	A‾‾=A\overline{\overline{A}}=AA=A

在预习第一章第二节逻辑代数基础时，发现书中未对全部定律给出证明，下面对分配律、吸收律中部分公式进行证明

证明1：A+B⋅C=(A+B)⋅(A+C)A+B\cdot C=(A+B)\cdot (A+C)A+B⋅C=(A+B)⋅(A+C)
(A+B)⋅(A+C)=A+AC+AB+BC=A+A+AC+AB+BC=A(B+B‾)+A(C+C‾)+AC+AB+BC=AB+AB‾+AC+AC‾+AC+AB+BC=AB+AB‾+AC+AC‾+BC=A(B+B‾)+A(C+C‾)+BC=A+A+BC=A+BCQ.E.D(A+B)\cdot(A+C)=A+AC+AB+BC \\ =A+A+AC+AB+BC \\= A(B+\overline{B})+A(C+\overline{C})+AC+AB+BC\\=AB+A\overline{B}+AC+A\overline{C}+AC+AB+BC \\=AB+A\overline{B}+AC+A\overline{C}+BC\\=A(B+\overline{B})+A(C+\overline{C})+BC\\=A+A+BC\\=A+BC\\Q.E.D(A+B)⋅(A+C)=A+AC+AB+BC=A+A+AC+AB+BC=A(B+B)+A(C+C)+AC+AB+BC=AB+AB+AC+AC+AC+AB+BC=AB+AB+AC+AC+BC=A(B+B)+A(C+C)+BC=A+A+BC=A+BCQ.E.D

证明2：A(A+B)=AA(A+B)=AA(A+B)=A
A(A+B)=A+AB=A(B+B‾)+AB=AB+AB‾+AB=AB+AB‾=A(B+B‾)=AQ.E.DA(A+B)=A+AB\\=A(B+\overline{B})+AB\\=AB+A\overline{B}+AB\\=AB+A\overline{B}\\=A(B+\overline{B})\\=A\\Q.E.DA(A+B)=A+AB=A(B+B)+AB=AB+AB+AB=AB+AB=A(B+B)=AQ.E.D

证明3：A+A‾B=A+BA+\overline{A}B=A+BA+AB=A+B
A+A‾B=A(B+B‾)+A‾B=AB+AB‾+A‾B+AB=A(B+B‾)+B(A+A‾)=A+BQ.E.DA+\overline{A}B=A(B+\overline{B})+\overline{A}B\\=AB+A\overline{B}+\overline{A}B+AB\\=A(B+\overline{B})+B(A+\overline{A})\\=A+B\\Q.E.DA+AB=A(B+B)+AB=AB+AB+AB+AB=A(B+B)+B(A+A)=A+BQ.E.D

证明4：AB+A‾C+BC=AB+A‾CAB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}CAB+AC+BC=AB+AC
AB+A‾C+BC=AB(C+C‾)+A‾C(B+B‾)+BC(A+A‾)=ABC+ABC‾+A‾BC+A‾B‾C+ABC+A‾BC=ABC+A‾BC+ABC‾+A‾B‾C=AB(C+C‾)+A‾C(B+B‾)=AB+A‾CQ.E.DAB+\overline{A}C+BC=AB(C+\overline{C})+\overline{A}C(B+\overline{B})+BC(A+\overline{A})\\=ABC+AB\overline{C}+\overline{A}BC+\mathop{\overline{A}\mathop{\overline{B}}}C+ABC+\overline{A}BC\\=ABC+\overline{A}BC+AB\overline{C}+\mathop{\overline{A}\mathop{\overline{B}}}C\\=AB(C+\overline{C})+\overline{A}C(B+\overline{B})\\=AB+\overline{A}C\\Q.E.DAB+AC+BC=AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AB(C+C)+AC(B+B)=AB+ACQ.E.D

证明5：(A+B)(A‾+C)(B+C)=(A+B)(A‾+C)(A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A+B)(\overline{A}+C)(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)
(A+B)(A‾+C)(B+C)=(AA‾+AC+BA‾+BC)(B+C)=AA‾B+AA‾C+ACB+ACC+BA‾B+BA‾C+BCB+BCC=ABC+AC+A‾B+A‾BC+BC=AC+A‾B+BC=AC+A‾B+BC+AA‾=A(A‾+C)+B(A‾+C)=(A+B)(A‾+C)Q.E.D(A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A\overline{A}+AC+B\overline{A}+BC)(B+C)\\=A\overline{A}B+A\overline{A}C+ACB+ACC+B\overline{A}B+B\overline{A}C+BCB+BCC\\=ABC+AC+\overline{A}B+\overline{A}BC+BC\\=AC+\overline{A}B+BC\\=AC+\overline{A}B+BC+A\overline{A}\\=A(\overline{A}+C)+B(\overline{A}+C)\\=(A+B)(\overline{A}+C)\\Q.E.D(A+B)(A+C)(B+C)=(AA+AC+BA+BC)(B+C)=AAB+AAC+ACB+ACC+BAB+BAC+BCB+BCC=ABC+AC+AB+ABC+BC=AC+AB+BC=AC+AB+BC+AA=A(A+C)+B(A+C)=(A+B)(A+C)Q.E.D

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