刷题总结——火柴排队(NOIP2013)
题目:
题目背景
NOIP2013 提高组 Day1 试题
题目描述
涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为:
其中 ai 表示第一列火柴中第 i个火柴的高度,bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入格式
共三行,第一行包含一个整数 n,表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第二列火柴的高度。
输出格式
输出共一行,包含一个整数,表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
样例数据 1
输入 [复制]
4
2 3 1 4
3 2 1 4
输出
1
样例数据 2
输入 [复制]
4
1 3 4 2
1 7 2 4
输出
2
备注
【样例1说明】
最小距离是 0,最少需要交换 1 次,比如:交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例2说明】
最小距离是 10,最少需要交换 2 次,比如:交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置,再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10% 的数据, 1≤n≤10;
对于 30% 的数据,1≤n≤100;
对于 60% 的数据,1≤n≤1,000;
对于 100% 的数据,1≤n≤100,000 ;0≤火柴高度≤231-1
题解:
这里引用ssoj官网题解:
贪心+逆序对。分析如下:
对距离公式化简得:
∑(ai-bi)2=∑(ai2-2aibi+bi2)=∑ai2+∑bi2-2∑aibi,要求∑(ai-bi)2最小,就只需要∑aibi最大即可。这里有个贪心,当 a1<a2<…<an ,b1<b2<…<bn时,∑aibi最大。
证明如下:
若存在a>b,c>d,且ac+bd<ad+bc,则a(c-d)<b(c-d),则a<b,与a>b矛盾,所以若a>b,c>d,则ac+bd>ad+bc
将此式子进行推广:
当a1<a2<a3<…<an ,b1<b2<…<bn的情况下∑aibi最大,即∑(ai-bi)2最小。
然后,将两个序列分别排序,确定每对数的对应关系,明显,同时移动两个序列中的数等效于只移动一个序列中的数,移动的时候可以将一个火柴序列不动,只移动另外一个序列。
于是可以构造一个数组C,C[i]表示最初的第i个数应该移动到C[i]位置。于是问题转换成对C[i]数组排序,每次可以交换相邻两个数,问最少需要移动多少次的问题了,也就是求这个序列的逆序对数量的问题(这里用归并排序思想实现)。
例如:
对于数据:
4
1 3 4 2
1 7 2 4
先排序:
1 2 3 4
1 2 4 7
保持序列1不动,那么:
序列2中的“1”对应序列1中的位置1;
“7”对应序列1中的位置3;
“2”对应序列1中的位置4;
“4”对应序列1中的位置2,那么重定义数组c为:
这个序列:1 3 4 2 的逆序对数量是 2 ,即(3,2)和(4,2),所以答案是 2。
md其实两个数组排序的位置一一对应时最小都已经想到了····那个逆序对竟然想不到···哎·····
代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<ctime> #include<cctype> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e5+5; const int mod=99999997; int n,c[N],temp[N]; long long ans=0; struct node {int w;int id; }a[N],b[N]; int R() {int f=0;char c;for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar());for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar())f=(f<<3)+(f<<1)+c-'0';return f; } bool comp(node x,node y) {return x.w<y.w; } inline void merge(int x,int mid,int y) {int i=x,j=mid+1,head=x; while(i<=mid&&j<=y){if(c[i]<=c[j])temp[head++]=c[i++];else{ans=(ans+mid-i+1)%mod;temp[head++]=c[j++];}}while(i<=mid) temp[head++]=c[i++];while(j<=y) temp[head++]=c[j++];for(i=x;i<=y;i++) c[i]=temp[i]; } inline void mergesort(int a,int b) {if(a==b) return;int mid=(a+b)/2;mergesort(a,mid);mergesort(mid+1,b);merge(a,mid,b); } int main() {//freopen("a.in","r",stdin);n=R();for(int i=1;i<=n;i++){ a[i].w=R();a[i].id=i;}for(int i=1;i<=n;i++){ b[i].w=R();b[i].id=i;}sort(a+1,a+n+1,comp);sort(b+1,b+n+1,comp);for(int i=1;i<=n;i++)c[b[i].id]=a[i].id;mergesort(1,n);cout<<ans<<endl;return 0; }
转载于:https://www.cnblogs.com/AseanA/p/7358119.html
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