随机变量和的期望

期望有一个非常重要的性质：一组随机变量的和的期望与这组随机变量各自期望的和相等。
假设样本空间SSS是一个有限的或者可数无限的集合（没有这个前提上述性质也成立，假设前提可以使讨论更清晰简单），给定一个随机变量XXX，当s∈Ss \in Ss∈S时(sss表示一次试验结果)，X(s)X(s)X(s)表示此时随机变量XXX的取值。现在，给定这样的随机变量XXX和YYY，那么他们的和仍然是随机变量，即Z=X+YZ = X + YZ=X+Y是随机变量，并且有Z(s)=X(s)+Y(s)Z(s) = X(s) + Y(s)Z(s)=X(s)+Y(s)。

1 从另一种角度求期望

现令p(s)=P({s})p(s) = P(\{s\})p(s)=P({s})表示作为随机试验的结果的概率。由于任意事件AAA都可以写成有限个或者可数无限个互不相容的事件{s}\{s\}{s}的和，s∈As\in As∈A，根据概率论公理可得：
P(A)=∑s∈Ap(s)P(A) = \sum_{s\in A}p(s)P(A)=s∈A∑p(s)
当A=SA = SA=S时，上式等价于：
P(S)=1=∑s∈Sp(s)P(S) = 1 = \sum_{s\in S}p(s) P(S)=1=s∈S∑p(s)
现在考虑随机变量XXX的期望E[X]E[X]E[X]。由于X(s)X(s)X(s)表示当sss作为试验结果时XXX的取值，那是不是可以猜测：E[X]E[X]E[X]表示随机变量XXX的可能取值的加权平均，其中XXX的每个可能取值的权重为其取到试验结果的概率，即E[X]E[X]E[X]应该等于X(s),s∈SX(s),s\in SX(s),s∈S的加权平均，权重为p(s)p(s)p(s)：
E[X]=∑s∈SX(s)p(s)E[X] = \sum_{s\in S}X(s)p(s) E[X]=s∈S∑X(s)p(s)
下面来证明这个猜测，从我们之前对期望的求法入手，假设随机变量XXX的不同取值为xi(i≥1)x_i(i \ge1)xi(i≥1)，对于每一个iii，令SiS_iSi表示XXX等于xix_ixi时的事件，即Si={s:X(s)=xi}S_i = \{s:X(s)=x_i\}Si={s:X(s)=xi}，那么：
E[X]=∑ixiP{X=xi}=∑ixiP(Si)=∑ixi∑s∈Sip(s)=∑i∑s∈SiX(s)p(s)=∑s∈SX(s)p(s)\begin{aligned} E[X] &= \sum_ix_iP\{X= x_i\} \\ &= \sum_ix_iP(S_i)\\ &= \sum_ix_i \sum_{s\in S_i}p(s)\\ &= \sum_i\sum_{s\in S_i}X(s)p(s)\\ &= \sum_{s\in S}X(s)p(s) \end{aligned} E[X]=i∑xiP{X=xi}=i∑xiP(Si)=i∑xis∈Si∑p(s)=i∑s∈Si∑X(s)p(s)=s∈S∑X(s)p(s)
得证，最后一个等号成立是因为S1,S2⋯S_1,S_2\cdotsS1,S2⋯是组成SSS的互不相容的事件。

2 重要性质的证明

现在根据我们得到的期望的求法，来证明上面期望的重要性质——一组随机变量的和的期望与这组随机变量各自期望的和相等。即证明对于随机变量X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots ,X_nX1,X2,⋯,Xn，有：
E[∑i=1nXi]=∑i=1nE[Xi]E[\sum_{i=1}^nX_i] = \sum_{i=1}^nE[X_i] E[i=1∑nXi]=i=1∑nE[Xi]
证明非常简单，利用上面的结论就好了，记Z=∑i=1nXiZ = \sum_{i=1}^nX_iZ=∑i=1nXi，则有：
E[Z]=∑s∈SZ(s)p(s)=∑s∈S(X1(s)+X2(s)+⋯+Xn(s))p(s)=∑s∈SX1(s)p(s)+∑s∈SX2(s)p(s)+⋯+∑s∈SXn(s)p(s)=E[X1]+E[X2]+⋯+E[Xn]\begin{aligned} E[Z]&= \sum_{s\in S}Z(s)p(s)\\ &= \sum_{s\in S}(X_1(s) + X_2(s) +\cdots + X_n(s))p(s)\\ &=\sum_{s\in S}X_1(s)p(s) + \sum_{s\in S}X_2(s)p(s) + \cdots + \sum_{s\in S}X_n(s)p(s)\\ &=E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_n] \end{aligned} E[Z]=s∈S∑Z(s)p(s)=s∈S∑(X1(s)+X2(s)+⋯+Xn(s))p(s)=s∈S∑X1(s)p(s)+s∈S∑X2(s)p(s)+⋯+s∈S∑Xn(s)p(s)=E[X1]+E[X2]+⋯+E[Xn]
得证。

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross

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