差分方程预测模型

差分方程人口预测模型

一、名词和符号说明

名词解释：

(1)拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica做曲线拟合。

(2)差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。

(3)迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点(,f())做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为,求出L与x轴交点的横坐标 ,称为r的一次近似值，过点(,f())做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标称为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中,称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 第 k年i岁的女性总人数

女性人口的(按年龄)分布向量

第k年i岁的女性生育率

第k年i岁的女性死亡率

第 k年i岁的女性存活率

i岁女性的生育模式 k年总和生育率(控制人口数量的主要参数)

A 存活率矩阵

B 生育模式矩阵

二、模型假设

针对本题中出现的数据的代表意义和建立模型时能够使问题理想化、简单化，我们应用已知数据，将时间离散化, ,因此本模型考虑女性人口的发展变化假设女性最大年龄为岁,,1年为1个时段，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响生育率仅与年龄有关,存活率也仅与年龄有关我们来建立一个离散的人口增长模型, 女性人口的发展变化Leslie人口模型,用差分方程:第k年i岁的女性生育率; : k年总和生育率，或生育胎次;

:第k年i岁的女性死亡率; :第 k年i岁的女性存活率

: i岁女性的生育模式

，

用表示女性人口的(按年龄)分布向量,记A=

B=则模型应表示为：

=A+B

利用matlab软件编程求解，程序如下：

c=zeros(91);

d1=[ … … ];

for i=1:91

for j=1:91

if i==j

c(i+1,j)=d1(i)

end

end

end

A=c1

a1=[ … … ];

b=zeros(91);

for i=1:35

b(1,i+15)=a1(i)

end

B=b1;

=[ … …] %2001对应初始值

y=zeros(91,n)%n表示要预测年数

y(:,1)= ；

for k=1:19

y(:,k+1)=A*y(:,k)+(k)*B*y(:,k)

end

(一)用此模型预测中短期女性人口变化趋势

考虑到男女性别比例波动不大，所以女性人口数量的发展趋势可以预测全国总人口的发展趋势。

对所给数据进行处理，发现近期(k)变化很小，这里我们取=/5即：市：=1；镇：=1.254；乡：=1.649，代入模型方程，得：

x(k)=……………………………………………………………(3.3-1)

x(k)=………………………………………………………(3.3-2)

x(k)=………………………………………………………(3.3-3)

分别代入k=20,即可算出市、乡、镇从2001年到未来20年的预测数值。

分别取2002、2004年的数据拟合，情况如下：

图3-1 2002、2004拟合趋势图

由上图可看出，拟合情况较好，此模型可用于短期预测，预测趋势图如下：

图3-2

预测数据表为：

表3-1

年份20012005201020152020女性人口数5.97E+086.37E+086.83E+087.34E+087.74E+08通过上面的预测数据和图像，可看出2020年之前女性人口呈增长趋势，全国人口总数也呈增长趋势。

(二)长期预测

进行长期预测时，考虑到国家计划生育一对夫妇只生一个孩子的政策，取=1,则模型可化简为 = 其中为2001年女性人口分布向量。

图3-3模型检验拟合图

利用数据来检验我们建立的差分方程模型，发现数据基本吻合，说明模型是很准确的，可以用此模型进行长期预测。

利用方程预测的女性总人口数据如下：

表3-2

年份20012005201020152020202520302035204020452050女性总人口