SAR成像(二)：高方位向分辨率原理

文章仅为个人理解，如有不妥之处欢迎指正。

在雷达系统中，当两个目标位于同一距离，而方位角不同时，可以被雷达区分出来的最小间隔为方位向分辨率。而方位向分辨率取决于天线有效波束宽度，当两个目标之间的方位向距离大于天线波束宽度，就能区分开来，反之就不能被区分。合成孔径雷达由于自身在方位向上的移动，在照射目标过程中合成了一个等效的大天线，从而实现方位向高分辨率。
对于真实孔径雷达来说，它的方位向分辨率为： ρ = H λ / ( D s i n β ) … … ( 1 ) \rho=H\lambda/(Dsin\beta) ……(1) ρ=Hλ/(Dsinβ)……(1) H H H天线距地高度， β \beta β为俯角， λ \lambda λ为波长， D D D为天线长度，且 λ / D \lambda/D λ/D为波束宽度 H / s i n β H/sin\beta H/sinβ其实就是雷达波束中心线到地面的长度。
当雷达工作频率固定后，要提高方位分辨率必须增大天线长度 D D D，这会受到雷达载体的限制，不可能将天线设计的很长。合成孔径雷达利用载体飞行过程中在不同位置接收到的信号，进行方位向脉冲压缩，以提高方位向的分辨率，以达到真实大孔径天线系统的高分辨率。

下图为SAR正侧视情况下的空间几何关系图。正侧视情况下，雷达波束的中心线与测绘带垂直，假定雷达的方位向波束角为 β \beta β，合成孔径长度为 L s L_s Ls，雷达在X轴上的坐标为x，雷达平台前进速度为v，目标P距天线r(t)，在X轴上坐标为x0，最小距离 R c R_c Rc。

则，目标与雷达平台之间的距离为： r ( t ) = [ R c 2 + ( x − x 0 ) 2 ] 1 / 2 … … ( 2 ) r(t)=[R_c^2+(x-x_0)^2]^{1/2}……(2) r(t)=[Rc2+(x−x0)2]1/2……(2)在理想运动条件下，有 x = v t x=vt x=vt(雷达是动的， x x x不固定)，则有： r ( t ) = [ R c 2 + ( v t − x 0 ) 2 ] 1 / 2 … … ( 3 ) r(t)=[R_c^2+(vt-x_0)^2]^{1/2}……(3) r(t)=[Rc2+(vt−x0)2]1/2……(3)一般情况有 R 0 > > ( x − x 0 ) R_0>>(x-x_0) R0>>(x−x0)，故上式近似为： r ( t ) = [ R c 2 + ( v t − x 0 ) 2 ] 1 / 2 ≈ R c [ 1 + ( v t − x 0 ) 2 / 2 R c 2 ] … … ( 3 ) r(t)=[R_c^2+(vt-x_0)^2]^{1/2}\approx R_c[1+(vt-x_0)^2/2R_c^2]……(3) r(t)=[Rc2+(vt−x0)2]1/2≈Rc[1+(vt−x0)2/2Rc2]……(3)假定雷达发射的是连续的正弦波（其实发什么波形无所谓），即： s t ( t ) = A e x p ( j w c t ) … … ( 4 ) s_t(t)=Aexp(jw_ct)……(4) st(t)=Aexp(jwct)……(4)其中， A A A为振幅， w c w_c wc为发射信号的载频，则点目标的回波信号课表示为： s ( t ) = σ A e x p ( j w c ( t − t d ) ) … … ( 5 ) s(t)=\sigma Aexp(jw_c(t-t_d))……(5) s(t)=σAexp(jwc(t−td))……(5)其中， σ \sigma σ为目标散射系数， t d t_d td为： t d = 2 r ( t ) c … … ( 6 ) t_d=\frac{2r(t)}{c}……(6) td=c2r(t)……(6)由于雷达与目标之间有相互运动，产生多普勒效应，目标在方位向上的回波的瞬时多普勒频率为： f d ( t ) = 1 2 π d d t { w c ⋅ 2 r ( t ) c } … … ( 7 ) f_d(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}{\{w_c·\frac{2r(t)}{c}\}}……(7) fd(t)=2π1dtd{wc⋅c2r(t)}……(7)将式（3）代入式（7），化简整理得到： f d ( t ) = − 2 v 2 λ R c ⋅ ( t − t 0 ) … … ( 8 ) f_d(t)=-\frac{2v^2}{\lambda R_c}·(t-t_0)……(8) fd(t)=−λRc2v2⋅(t−t0)……(8)其中， t 0 = 2 R c / c t_0=2R_c/c t0=2Rc/c。观察（8）式可以发现，在合成孔径 T s = L s / v T_s=L_s/v Ts=Ls/v这段时间内， f d f_d fd随时间呈线性变化。故可以将方位向的回波多普勒信号看作是脉宽为 T s T_s Ts、多普勒中心频率为0、调频率为 f d = 2 v 2 λ R c f_d=\frac{2v^2}{\lambda R_c} fd=λRc2v2的线性调频信号。
雷达扫过目标持续时间（合成孔径时间） T s T_s Ts与雷达平台以及天线长度之间的关系可以表示为： T s = L s v = β ⋅ R c v = λ D ⋅ R c v … … ( 9 ) T_s=\frac{L_s}{v}=\frac{\beta ·R_c}{v}=\frac{\frac{\lambda}{D}·R_c}{v}……(9) Ts=vLs=vβ⋅Rc=vDλ⋅Rc……(9)其中， v v v为雷达平台速度， L s L_s Ls为合成孔径长度， β \beta β为方位向的波束宽度，点目标回波信号的多普勒带宽为： △ f d = ∣ f d ∣ T s = 2 β v λ … … ( 10 ) \triangle f_d=|f_d|T_s=\frac{2\beta v}{\lambda}……(10) △fd=∣fd∣Ts=λ2βv……(10)根据脉冲压缩原理，方位向分辨率与雷达天线波束扫过目标P时产生的最大多普勒带宽有关。当此线性调频信号经匹配滤波器之后，得到的输出信号（时域信号）包络的主瓣宽度为： τ a = 1 △ f d = D 2 v … … ( 11 ) \tau_a=\frac{1}{\triangle f_d}=\frac{D}{2v}……(11) τa=△fd1=2vD……(11) τ a \tau_a τa相当于方位向的时间分辨率，如果两物体的回波多普勒信号经脉冲压缩后的间隔大于 τ a \tau_a τa，雷达才能将他们分辨开来。合成孔径雷达在方位向的分辨率为： ρ a = τ a v = D 2 … … ( 12 ) \rho_a=\tau_av=\frac{D}{2}……(12) ρa=τav=2D……(12)由式（12）可知，合成孔径雷达的方位分辨率与目标距离和波长无关，仅由天线方位向几何尺寸决定，这一特性表明SAR对照射区内不同位置上的目标能做到等分辨率成像，并且从理论上说，分辨率精度可达 D / 2 D/2 D/2（实际中达不到）。减小 D D D可以提高方位向分辨率，但将使天线增益下降，从而降低雷达探测距离。

如果上面那些不好理解的话，可以总结的更通俗更概括一些：合成孔径雷达方位向的回波多普勒信号可以看成一个线性调频信号，对其进行脉冲压缩就实现了高分辨率。

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SAR成像(五)：回波模型
SAR成像(六)：距离徙动矫正
SAR成像(七)：RD成像算法
参考：

[1]刘晖铭. 机载合成孔径雷达成像算法研究[D].西安电子科技大学,2012.
[2]陈小利. 合成孔径雷达成像研究[D].南京大学,2015.

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