二叉搜索树的后序遍历序列

一、需求

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果，如果是则返回 true，否则返回 false。
假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考以下这颗二叉搜索树：5/ \2   6/ \1   3
示例 1：输入: [1,6,3,2,5]
输出: false
示例 2：输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

二、分治算法

2.1 思路分析

后序遍历：左、右、根。
二叉搜索树：左子树中所有结点的值 < 根结点的值，右子树中所有结点的值 > 根结点的值，其左、右子树也分别为二叉搜索树。
根据二叉树搜索树的定义，可以通过递归判断所有子树的正确性(即其后序遍历是否满足二叉搜索树的定义)，若所有子树均正确，则此序列为二叉搜索树的后序遍历。

2.2 算法流程

终止条件：当 i >= j，说明此子树结点数量 <= 1，无需判别正确性，因此直接返回true；
递推工作：

1.划分左右子树：遍历后序遍历的[i, j]区间元素，寻找第一个大于根结点的结点，索引记为m，此时，可划分出左子树区间[i，m-1]，右子树区间[m，j-1]，根结点索引为 j 。

2.判断是否为二叉搜索树：

1.左子树区间[i，m-1]内的所有结点都应 < posterOrder[ j ] 。而在划分左右子树的步骤中，已经保证了左子树区间的正确性，因此，只需要判断右子树区间即可。

2.右子树区间[m，j-1]内的所有结点都应 > posterOrder[ j ] 。实现方式为遍历，当遇到 <= posterOrder[ j ]的结点跳出，通过判断p == j判断是否为二叉搜索树。

返回值：所有子树均正确才可判定正确，因此使用与逻辑符连接。

1.p == j：判断此树是否正确。

2.recur(i，m-1)：判断此树的左子树是否正确。

3.recur(m，j-1)：判断此树的右子树是否正确。

2.3 代码实现

class Solution {public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {return recur(postorder,0,postorder.length - 1);}public boolean recur(int[] postorder,int i,int j) {if(i >= j) return true;int p = i;while(postorder[p] < postorder[j]) p++;int m = p;while(postorder[p] > postorder[j]) p++;return p == j && recur(postorder,i,m-1) && recur(postorder,m,j-1);}
}

2.4 复杂度分析

时间复杂度为O(N^2)，每次调用recur(i,j)要减去一个根结点，因此递归占用O(N)，最差情况下(当树退化为链表)，每轮递归都需要遍历树的所有结点，占用O(N)。
空间复杂度为O(N)，最差情况下(当树退化为链表)，递归深度将达到N。

三、辅助单调栈

3.1 思路分析

后序遍历倒序：[根结点 | 右子树 | 左子树]，类似于先序遍历的镜像，即先序遍历为"根、左、右"的顺序，而后序遍历的倒序为"根、右、左"。
设后序遍历倒序列表为 $[r_n,r_{n-1},...,r_1]$ ，遍历此列表，设索引为 $i$ ，若为二叉搜索树，则有：

1.当结点值 $r_i>r_{i+1}$ 时，结点 $r_i$ 一定是结点 $r_{i+1}$ 的右子结点。

2.当结点值 $r_i<r_{i+1}$ 时，结点 $r_i$ 一定是某结点root的左子结点，且root为结点 $r_{i+1},r_{i+2},...,r_{n}$ 中值大于且最接近 $r_i$ 的结点。

当遍历时遇到递减结点 $r_i<r_{i+1}$ ，若为二叉搜索树，则对于后序遍历倒序中结点 $r_i$ 右边的任意结点 $r_x\in[r_{i-1},r_{i-2},...,r_1]$ ，必有结点 $r_x<root$ 。(结点 ${\color{Red}r_x }$ 只可能为以下两种情况：① $r_x$ 为 $r_i$ 的左、右子树的各结点；② $r_x$ 为root的父结点或更高层父结点的左子树的各结点。在二叉搜索树中，以上结点都应小于root。)
遍历"后序遍历的倒序"会多次遇到递减结点 $r_i$ ，若所有的递减结点 $r_i$ 对应的父结点root都满足以上条件，则可判定为二叉搜索树。
根据以上描述，考虑借助单调栈实现：

1.借助一个单调栈stack存储值递增的结点；

2.每当遇到值递减的结点 $r_i$ ，则通过出栈来更新结点 $r_i$ 的父结点root；

3.每轮判定 $r_i$ 和root的值的关系：

1.若 $r_i > root$ ，说明不满足二叉搜索树的定义，直接返回false；

2.若 $r_i < root$ ，说明满足二叉搜索树的定义，则继续遍历。

3.2 算法流程

初始化：单调栈stack，父结点值 $root = \infty$ （初始值为正无穷大，可把树的根节点看为此无穷大节点的左孩子）；
倒序遍历postorder：记每个结点为 $r_i$ ；

1.判断：若 $r_i > root$ ，说明此后序遍历序列不满足二叉搜索树的定义，直接返回false；

2.更新父结点root：当栈不为空且 $r_i < stack.peek()$ 时，循环执行出栈，并将出栈结点赋给root；

3.入栈：将当前结点 $r_i$ 入栈；

3.若遍历完成，说明后序遍历满足二叉搜索树的定义，返回true。

3.3 代码实现

class Solution {public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {Stack<Integer> stack = new Stack<>();int root = Integer.MAX_VALUE;for(int i = postorder.length - 1; i >= 0; i--) {if(postorder[i] > root) return false;while(!stack.isEmpty() && stack.peek() > postorder[i]) {root = stack.pop();}stack.add(postorder[i]);}return true;}
}

3.4 复杂度分析

时间复杂度为O(N)，各结点均出\入栈一次；
空间复杂度为O(N)，最差情况下，单调栈所有结点。

四、参考地址

作者：Krahets

链接：https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-li-xu-lie-lcof/solution/mian-shi-ti-33-er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-6/