关于标量积和矢量积的理解

2024-06-20 10:28:19

矢量积与标量积的对比

	标量积（A⃗⋅B⃗\vec {A} \cdot \vec{B}A⋅B）	矢量积（A⃗×B⃗\vec{A} \times \vec{B}A×B）
运算方式	A⃗⋅B⃗=A⋅B⋅cos(θ)\vec A \cdot \vec B=A \cdot B \cdot cos(\theta)A⋅B=A⋅B⋅cos(θ)	A⃗×B⃗=A⋅B⋅sin(θ)\vec A \times \vec B=A \cdot B \cdot sin(\theta)A×B=A⋅B⋅sin(θ)
代数角度	两个等长数列对应元素求积，再对所有积求和	矢量积（叉积）可以通过行列式来进行计算
几何角度	将点积中的一个向量投影倒另一个向量上	A⃗、B⃗\vec{A}、\vec{B}A、B向量积结果的模长等于以向量A⃗、B⃗\vec{A}、\vec{B}A、B为斜边的平行四边形面积
运算结果	标量	同时垂直于向量A⃗\vec AA和向量B⃗\vec BB的矢量

通过萨吕法则计算行列式

考虑一个3×33\times 33×3的行列式MMM
M=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣M=\left | \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right|M=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33

图片来源：https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=20285987

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