奈奎斯特准则的简洁证明

一般而言，发送滤波器和接收滤波器的冲激响应相同且关于原点对称，有用信号事实上经过了这两个滤波器，所以等效滤波器为：

$g(t)=g_{tx}(t)*g_{rx}(t)$

为使无符号间干扰， $g(t)$ 应满足：

$\left\{\begin{matrix} g(0)=1 & & \\ g(kT)=0,k\neq 0 & & \end{matrix}\right.$

奈奎斯特准则指出上式等价于：

$\frac{1}{T}\sum_{k\epsilon \mathbb{Z}}^{}G(f-\frac{k}{T})=1$

其中 $G(f)$ 表示 $g(t)$ 的傅里叶变换， $T$ 是符号间隔时间。

证明：

$g(t)\leftrightarrow G(f)$

$g(t)\cdot \delta _{T}(t)\leftrightarrow \frac{1}{T}G(f)* \delta _{f_{0}}(f)$

其中 $\leftrightarrow$ 表示傅里叶变换， $\delta _{T}(t)$ 表示冲激函数以T为周期进行周期延拓所得的周期冲激函数，它的傅里叶变换为 $\frac{1}{T}\delta _{f_{0}}(f)$ ，其中 $f_{0}=\frac{1}{T}$ ，是冲激函数以 $f_{0}$ 为周期进行周期延拓所得。至于为什么，我们知道周期函数的傅里叶变换是：其单个周期的傅里叶变换的冲激采样再乘以采样间隔。具体说， $\delta _{T}(t)$ 是以T为周期的周期函数，它的单个周期为 $\delta (t)$ ，对应的傅里叶变换为 $1$ ，对 $1$ 在频域以间隔 $f_{0}=\frac{1}{T}$ 冲激采样得到 $\delta _{f_{0}}(f)$ ,再乘以采样间隔就是 $\frac{1}{T}\delta _{f_{0}}(f)$ 。我们可以发现上式左边其实就等于 $\delta (t)$ ,所以接下来有：

$\delta (t)\leftrightarrow 1=\frac{1}{T}\sum_{k\epsilon \mathbb{Z}}^{}G(f-\frac{k}{T})$

得证。

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