矩阵的秩，行列式，代数余子式啥的

参考资料:

nealchen
Rose_max

求解A的代数余子式:

(1)rank(A)<=n-2，每个位置均为0
(2)rank(A)=n,有A∗=∣A∣∗A−1A^*=|A|*A^{-1}A∗=∣A∣∗A−1,其中A*是代数余子式矩阵的转置矩阵，实现的时候需要注意这点
(3)rank(A)=n-1,则求出非0行向量p,满足pA=0，以及非0列向量q,满足Aq=0
找出一对r,c，满足pr≠0,qc≠0p_r\neq 0,q_c\neq 0pr=0,qc=0，我们有Ai,j=piqjprqcAr,cA_{i,j}=\frac{p_iq_j}{p_rq_c}A_{r,c}Ai,j=prqcpiqjAr,c
实现的时候，为了方便可以设置pr=1,qc=1p_r=1,q_c=1pr=1,qc=1
至于求解一个矩阵的秩，模拟高斯消元，还剩下多少个非0的行向量就是矩阵的秩
至于求解一个矩阵的逆，由于保证了逆是良定义的，所以一定可以用:
1.一行乘上某个数
2.一行乘上某个数加到某行
2.交换两行
变成单位矩阵
注意到，上面3个变换都可以表示成矩阵，意思是你求出了个
Ek....E1A=IE_k....E_1A=IEk....E1A=I，那么Ek..E1=A−1E_k..E_1=A^{-1}Ek..E1=A−1
上面的时间复杂度都是O(n3)O(n^3)O(n3)

例题

求出代数余子式后随便做
复杂度:O(n3+m)O(n^3+m)O(n3+m)
正经人谁考场上写代数余子式啊

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=1000000007;
int n,m;
#define Maxn 305
#define E 100010
struct Edge{int s,e,t;
}edge[E];
int A[Maxn][Maxn],invA[Maxn][Maxn],B[Maxn][Maxn],Ans[Maxn][Maxn],C[Maxn][Maxn];namespace modular{int add(int a,int b){return a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;}int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+Mod:a-b;}int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%Mod;}int Fast_Pow(int a,int b){int res=1;while(b){if(b&1)res=1ll*res*a%Mod;a=1ll*a*a%Mod;b>>=1;}return res;}
}using namespace modular;int p[Maxn],q[Maxn];
void Gauss(int A[][Maxn],int *p,int &r){for(int i=1,t=1;i<=n&&t<=n;++i,++t){for(int j=i;j<=n;++j)if(A[j][t]){if(j^i)for(int k=t;k<=n;++k)swap(A[i][k],A[j][k]);break;}if(!A[i][t]){--i;r=t;}else{int f=Fast_Pow(A[i][t],Mod-2);for(int j=i+1;j<=n;++j){int v=mul(f,A[j][t]);if(v)for(int k=t;k<=n;++k)A[j][k]=dec(A[j][k],mul(A[i][k],v));}}}p[r]=1;int at;for(int i=n-1;i>=1;--i){if(i<r)at=i;else at=i+1;p[at]=0;for(int j=at+1;j<=n;++j)p[at]=dec(p[at],mul(p[j],A[i][j]));p[at]=mul(p[at],Fast_Pow(A[i][at],Mod-2));}
}
int Det(int A[][Maxn]){int res=1;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=i;j<=n;++j)if(A[j][i]){if(j^i){for(int k=i;k<=n;++k)swap(A[i][k],A[j][k]);res=dec(0,res);}break;}int f=Fast_Pow(A[i][i],Mod-2);for(int j=i+1;j<=n;++j){int v=mul(f,A[j][i]);for(int k=i;k<=n;++k)A[j][k]=dec(A[j][k],mul(A[i][k],v));}}for(int i=1;i<=n;++i)res=mul(res,A[i][i]);return res;
}
void solve(){for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j){A[i][j]=B[i][j];invA[i][j]=0;if(i==j)invA[i][j]=1;}int cnt=0,ty=1;for(int i=1,t=1;i<=n&&t<=n;++i,++t){for(int j=i;j<=n;++j)if(A[j][t]){if(j^i){for(int k=t;k<=n;++k){swap(A[i][k],A[j][k]);swap(invA[i][k],invA[j][k]);}for(int k=1;k<t;++k)swap(invA[i][k],invA[j][k]);ty=dec(0,ty);}break;}if(!A[i][t]){--i;cnt++;}else{int f=Fast_Pow(A[i][t],Mod-2);for(int j=i+1;j<=n;++j){int v=mul(f,A[j][t]);for(int k=t;k<=n;++k){A[j][k]=dec(A[j][k],mul(A[i][k],v));invA[j][k]=dec(invA[j][k],mul(invA[i][k],v)); }for(int k=1;k<t;++k)invA[j][k]=dec(invA[j][k],mul(invA[i][k],v));}}}if(cnt>=2){for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)Ans[i][j]=0;return;}if(!cnt){for(int i=n;i>=1;--i){ty=mul(ty,A[i][i]);for(int j=i+1;j<=n;++j)for(int k=1;k<=n;++k)invA[i][k]=dec(invA[i][k],mul(A[i][j],invA[j][k]));int t=Fast_Pow(A[i][i],Mod-2);for(int k=1;k<=n;++k)invA[i][k]=mul(invA[i][k],t);}for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j){Ans[j][i]=mul(invA[i][j],ty);}return;}for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)C[j][i]=B[i][j];int r,c;Gauss(C,p,r);Gauss(A,q,c);int t1,t2;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=r&&j!=c){if(i<r)t1=i;else t1=i-1;if(j<c)t2=j;else t2=j-1;C[t1][t2]=B[i][j];}n--;int res=Det(C);if((r+c)&1)res=dec(0,res);n++;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)Ans[i][j]=mul(p[i],mul(q[j],res));
}inline void rd(int &x){x=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
}int main(){rd(n);rd(m);for(int i=1;i<=m;++i){rd(edge[i].s);rd(edge[i].e);rd(edge[i].t);B[edge[i].s][edge[i].e]=dec(B[edge[i].s][edge[i].e],1);B[edge[i].s][edge[i].s]++;}n--;solve();n++;int res=0;for(int i=1;i<=m;++i)if(edge[i].s<n)res=add(res,mul(dec(Ans[edge[i].s][edge[i].s],Ans[edge[i].s][edge[i].e]),edge[i].t));   printf("%d\n",res);return 0;
}

[Bzoj 3168]求出逆矩阵后，变成二分图最小字典序的完美匹配
时间复杂度O(n3)O(n^3)O(n3)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int n;
#define Maxn 305
double A[Maxn][Maxn],invA[Maxn][Maxn],B[Maxn][Maxn],C[Maxn][Maxn];int head[Maxn<<1],v[200010],nxt[200010],tot=0;
inline void add_edge(int s,int e){tot++;v[tot]=e;nxt[tot]=head[s];head[s]=tot;}int S,mn,fr[Maxn<<1];
int match[Maxn<<1];
bool vis[Maxn<<1];
bool dfs1(int u){for(int i=head[u];i;i=nxt[i])if(!vis[v[i]]){vis[v[i]]=true;if(!match[v[i]]||dfs1(match[v[i]])){match[u]=v[i];match[v[i]]=u;return true;}}return false;
}void dfs2(int u){for(int i=head[u];i;i=nxt[i])if(!vis[v[i]]){vis[v[i]]=true;fr[match[v[i]]]=u;dfs2(match[v[i]]);}else if(v[i]==S)mn=min(mn,u);
}void calc_inv(){for(int i=1;i<=n;++i)invA[i][i]=1.0;for(int i=1;i<=n;++i){if(fabs(A[i][i])<eps){for(int j=i+1;j<=n;++j)if(fabs(A[j][i])>=eps){for(int k=i;k<=n;++k){swap(A[i][k],A[j][k]);swap(invA[i][k],invA[j][k]);}for(int k=1;k<i;++k)swap(invA[i][k],invA[j][k]);break;}}if(fabs(A[i][i])<eps){puts("NIE");exit(0);} for(int j=i+1;j<=n;++j){double t=A[j][i]/A[i][i];for(int k=i;k<=n;++k)A[j][k]-=A[i][k]*t,invA[j][k]-=invA[i][k]*t;for(int k=1;k<i;++k)invA[j][k]-=invA[i][k]*t;}}for(int i=n;i>=1;--i){for(int j=i+1;j<=n;++j)for(int k=1;k<=n;++k)invA[i][k]=(invA[i][k]-invA[j][k]*A[i][j]);for(int j=1;j<=n;++j)invA[i][j]=invA[i][j]/A[i][i];}
}int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)scanf("%lf",&A[i][j]);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)scanf("%lf",&B[i][j]);calc_inv();for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)for(int k=1;k<=n;++k)C[i][k]+=B[i][j]*invA[j][k];for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j){if(fabs(C[i][j])>=eps)add_edge(j,i+n),add_edge(i+n,j);}for(int i=1;i<=n;++i)if(!match[i]){memset(vis,false,sizeof(bool)*(2*n+1));if(!dfs1(i)){puts("NIE");return 0;}}puts("TAK");for(int i=1;i<=n;++i){S=i;mn=match[i];for(int j=i+1;j<=n;++j)vis[j]=false;vis[i]=true;dfs2(match[i]);int z=match[i];int at=mn,pre=match[at];while(at!=z){int to=pre;match[to]=fr[at];pre=match[fr[at]];match[fr[at]]=to;at=fr[at];}match[i]=mn;match[mn]=i;}for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",match[i]-n);return 0;
}