取余运算

x % u 等价于 x - floor(x/u) * u

算术求模 mod(x, u)

x mod u 等价于 ((x % u) + x) % x

a = b x q + r (只要b>0b > 0b>0, 必有r≥0r\ge0r≥0 ）

一个较大的数m与一个较小的数n求mod(m,n)

限制: m >>> INT_MAX, n ≤\le≤ INT_MAX
利用秦九韶公式写法进行思考, 123=((0∗10+1)+2)∗10)+3)∗10123 = ((0 * 10 + 1) + 2) * 10) + 3) * 10123=((0∗10+1)+2)∗10)+3)∗10

int mod(const string& m, int n) {int last = 0;int ans  = 0;for (int i = 0; i != m.size(); ++i) {ans = (last * 10 + (m[i] - '0')) % n;last = ans;}return ans;
}

幂求模 mod(an,n)mod(a^n, n)mod(an,n)

思路：取模的等价运算，即 (a∗b)%n(a*b) \% n(a∗b)%n 等价（a%10)∗(b%10)（a \% 10)*(b \% 10)（a%10)∗(b%10)

int mod(int a, int n, int m) {int ans = 1;for (int i = 0; i != n; ++i) {ans = (ans * a) % m;}return ans;
}

引入快速幂运算

int mod(int a, int n, int m) {if (n == 0) return 1;int tmp = mod(a, n / 2, m);tmp = (tmp * tmp) % m;if (n & 1) return (tmp * a) % m;return tmp;
}

迭代版本:

int mod(int a, int n, int m) {int ans  = 1;int base = a;for (int i = n; i > 0; i /= 2) {if (i & 1) ans = (ans * base) % m;base = (base * base) % m;}return ans;
}

大数求mod

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