分治算法解决大整数乘法问题

整数相乘：小整数相乘在算法时间分析中可以认为是常数时间，但是对于大整数，时间需要考虑。两个N位数的整数X和Y相乘，常规方法花费时间是 $\Theta (N^2)$ ，因为X的每一位都要和Y的每一位相乘，是两层循环。

分治算法解决整数相乘问题：

例如，X是12345678，Y是87654321，将X和Y都拆成两半，得到

$X_{L}=1234$

$X_{R}=5678$

$Y_{L}=8765$

$Y_{R}=4321$

即 $X=X_{L}10^{4}+X_{R}$ ， $Y=Y_{L}10^{4}+Y_{R}$ ，得到

$XY=X_{L}Y_{L}10^{8}+(X_{L}Y_{R}+X_{R}Y_{L})10^{4}+X_{R}Y_{R}$

这个方程由4个乘法组成，即 $X_{L}Y_{L},X_{L}Y_{R},X_{R}Y_{L},X_{R}Y_{R}$ ，每个问题是原问题的 $N/2$ 大小，加上增加一堆0的 $O(N)$ 附加工作，得到递归公式如下：

$T(N)=4T(N/2)+O(N)$

应用分治算法定理，得到 $T(N)=O(N^2)$ ，因此并没有改进时间。想要改进时间，需要考虑减少子问题规模，一个观察如下：

$X_{L}Y_{R}+X_{R}Y_{L}=(X_{L}-X_{R})(Y_{L}-X_{R})+X_{L}T_{L}+X_{R}Y_{R}$

这样，只需要求 $X_{L}X_{L},X_{L}X_{L},(X_{L}-X_{R})(Y_{R}-Y_{L})$ 三个子问题，公式为

$T(N)=3T(N/2)+O(N)$

应用分治算法定理，得到 $T(N)=O(N^{log_{2}^{3}})$ ，是一个亚二次时间界

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