[CF1705E Mark and Professor Koro]

题号：CF1705E Mark and Professor Koro
来源：Codeforces Round #807 (Div. 2)

前言：

这是一个易想不易写的题。官方题解给出了bitset暴力和线段树维护 01 01 01 区间两种解法。我在考场上想到了线段树和set两种维护 01 01 01 区间的套路，由于set的码量、空间复杂度、时间复杂度都比线段树好，所以我果断写了set，然后就写挂了。

题意：

黑板上有 n n n 个数，两个相等的数 x x x 可以合成一个数 x + 1 x+1 x+1，你可以进行任意次这种操作，请问最终能得到的最大数是多少？为了加强这个问题，你需要回答 q q q 次询问，每次询问会将初始时黑板上的某个数修改，这个修改在后面的询问中仍然有效，每次询问你都要回答此时能得到的最大数是多少。

数据范围：

分析：

显然， a i a_i ai并不大，我们可以开个数组记录 a i a_i ai的出现次数。合并两个数的过程类似于二进制中的进位，因此我们考虑用进位的思想将出现次数化简。我们从低位开始进位（从 1 1 1开始进位），若当前数 x 的出现次数大于 2 2 2，我们就向 x + 1 x+1 x+1 进位，代码类似于下面这样：

    for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];cnt[a[i]]++;mx=max(mx,a[i]); mx表示当前最大的数}for(int i=1;i<=mx;i++){int x=cnt[i]/2;cnt[i]&=1;    //对2取余cnt[i+1]+=x;  //进位if(i==mx and x>0) mx++;  //更新mx}

最终，我们的 c n t cnt cnt数组就是一个 01 01 01 串，或者说是一个二进制串。
那么我们怎么修改呢？
将 x 修改为 y，等价于 c n t ( x ) − 1 cnt(x)-1 cnt(x)−1， c n t ( y ) + 1 cnt(y)+1 cnt(y)+1。
例如， x = 2 x=2 x=2， y = 5 y=5 y=5，我们的当前串为 1101011 1101011 1101011，

1101011 − 10 = 1101001 1101011-10=1101001 1101011−10=1101001
1101001 + 10000 = 1111001 1101001+10000=1111001 1101001+10000=1111001
因此修改后的串就是 1111001 1111001 1111001.

在这样的一次加法中，我们可能会遇到进位，这等价与将一串连续的 111 111 111 变成 0 0 0，然后下一位设置为 1 1 1。
在因此减法中，我们可能会遇到借位，这等价于将一个 1 1 1置为 0 0 0，并将一串连续的 0 0 0变成一串 1 1 1。
这在线段树中是一个经典问题，不过，这个东西 s e t set set 也能做。

解法：

我们将所有连续的一串 1 1 1的（左边界,右边界）插入 s e t set set，利用右边界pai1序。

在位置x插入1：
low_bound找到 x 可能在的区间 ( l , r ) ( l, r) (l,r)，如果 x x x 不在该区间内，说明 x x x 处为 0 0 0 ，因此我们插入一个 ( x , x ) (x, x) (x,x)。但是这个区间可能会其他区间相邻，因此我们检查一下，区间能否合并。如果 x x x 在区间 ( l , r ) (l, r) (l,r)内，那么从 x x x 开始直到 r r r 都会因为进位归零， r + 1 r+1 r+1会被置为 1 1 1，我们还需要检查一下 r + 1 r+1 r+1能否与下一个区间合并。如果 x x x 大于 l l l，那么 ( l , x ) (l, x) (l,x)会分裂成新的区间。

在位置x减1：
low_bound找到 x 可能在的区间$ ( l, r)$，如果 x x x 在该区间内，说明$ x$ 处为 1 1 1 ，因此我们将该区间分裂成两个小区间 ( l , x − 1 ) (l,x-1) (l,x−1) 和 ( x + 1 , r ) (x+1,r) (x+1,r)即可，如果分裂后的区间长度为 0 0 0，那就没必要插入 s e t set set了。如果 x x x 不在该区间内，那么 x x x需要向该区间借位，结果是 ( l , r ) (l,r) (l,r) 变成 ( l + 1 , r ) (l+1,r) (l+1,r), 得到了新的区间 ( x , l ) (x, l) (x,l)。这个新的区间可能会与前面的区间合并，需要检查。

代码：

由于我的区间是根据 r r r 排序的，因此 p a i r pair pair 的 f i r s t first first 是 r r r， s e c o n d second second是 l l l。

#include<bits/stdc++.h>
#define fst ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr)
using namespace std;int n,q,mx,cnt[210010],a[210010];
set<pair<int,int> >st;  //NOLINTvoid add(int x){auto it=st.lower_bound({x,0});if(it==st.end() or it->second>x){int l=x,r=x;vector<pair<int,int> >d;if(it!=st.end() and it->second==x+1){r=it->first;d.push_back(*it);}if(it!=st.begin()){it--;if(it->first==x-1){l=it->second;d.push_back(*it);}}for(auto i:d) st.erase(i);st.insert({r,l});}else{auto y=*it;int r=y.first+1,l=r;it++;if(it!=st.end()){if(it->second==r+1){r=it->first;st.erase(it);}}st.erase(y);if(x>y.second){st.insert({x-1,y.second});}st.insert({r,l});}
}
void del(int x){auto it=st.lower_bound({x,0});if(x>=it->second){auto y=*it;if(x>y.second) st.insert({x-1,y.second});if(x<y.first) st.insert({y.first,x+1});st.erase(y);}else{auto y=*it;int l=x,r=y.second-1;if(it!=st.begin()){it--;if(it->first==x-1){l=it->second;st.erase(it);}}st.erase(y);st.insert({r,l});if(y.second<y.first) st.insert({y.first,y.second+1});}
}
signed main(){fst;cin>>n>>q;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];cnt[a[i]]++;mx=max(mx,a[i]);}for(int i=1;i<=mx;i++){int x=cnt[i]/2;cnt[i]&=1;cnt[i+1]+=x;if(i==mx and x>0) mx++;}int lf=0,len=0;for(int i=1;i<=mx+1;i++){if(cnt[i]){if(len==0) lf=i;len++;}else{if(len>0){st.insert({lf+len-1,lf});}len=0;}}while(q--){int k,l;cin>>k>>l;if(a[k]==l){cout<<mx<<"\n";continue;}del(a[k]);add(l);a[k]=l;auto x=st.end();x--;mx=x->first;cout<<mx<<"\n";}return 0;
}

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