Python 模拟退火算法
模拟退火算法借鉴了统计物理学的思想，是一种简单、通用的启发式优化算法，并在理论上具有概率性全局优化性能，因而在科研和工程中得到了广泛的应用。
退火是金属从熔融状态缓慢冷却、最终达到能量最低的平衡态的过程。模拟退火算法基于优化问题求解过程与金属退火过程的相似性，以优化目标为能量函数，以解空间为状态空间，以随机扰动模拟粒子的热运动来求解优化问题。
模拟退火算法结构简单，由温度更新函数、状态产生函数、状态接受函数和内循环、外循环终止准则构成。
温度更新函数是指退火温度缓慢降低的实现方案，也称冷却进度表；
状态产生函数是指由当前解随机产生新的候选解的方法；
状态接受函数是指接受候选解的机制，通常采用Metropolis准则；
外循环是由冷却进度表控制的温度循环；
内循环是在每一温度下循环迭代产生新解的次数，也称Markov链长度。
模拟退火算法的基本流程如下：
- 初始化：初始温度T，初始解状态s，迭代次数L；
- 对每个温度状态，重复 L次循环产生和概率性接受新解：
- 通过变换操作由当前解s 产生新解s′；
- 计算能量差 ∆E，即新解的目标函数与原有解的目标函数的差；
- 若∆E <0则接受s′作为新的当前解，否则以概率exp(-∆E/T) 接受s′ 作为新的当前解；
- 在每个温度状态完成 L次内循环后，降低温度 T，直到达到终止温度。
多变量函数优化问题
选取经典的函数优化问题和组合优化问题作为测试案例。
问题 1：Schwefel 测试函数，是复杂的多峰函数，具有大量局部极值区域。
本文取 d=10, x=[-500,500]，函数在 X=(420.9687,...420.9687)处为全局最小值 f(X)=0.0。
使用模拟退火算法的基本方案：控制温度按照 T(k) = a * T(k-1) 指数衰减，衰减系数取 a；如式（1）按照 Metropolis 准则接受新解。对于问题 1（Schwefel函数），通过对当前解的一个自变量施加正态分布的随机扰动产生新解。
部分模拟退火算法 Python 程序
# 模拟退火算法 程序：多变量连续函数优化
# Program: SimulatedAnnealing_v1.py
# Purpose: Simulated annealing algorithm for function optimization
# v1.0:
# (1) 基本算法：单变量连续函数优化问题
# (2) 文件输出优化结果和中间过程数据
# (3) 设置指标参数计数器
# (4) 图形输出坏解接受概率# -*- coding: utf-8 -*-
import math # 导入模块
import random # 导入模块
import pandas as pd # 导入模块 YouCans, XUPT
import numpy as np # 导入模块 numpy, 并简写成 np
import matplotlib.pyplot as plt # 导入模块 matplotlib.pyplot, 并简写成 plt
from datetime import datetime# 子程序：定义优化问题的目标函数
def cal_Energy(X, nVar):# 测试函数 1：Schwefel 测试函数# -500 <= Xi <= 500# 全局极值：(420.9687,420.9687,...),f(x)=0.0sum = 0.0for i in range(nVar):sum += X[i] * np.sin(np.sqrt(abs(X[i])))fx = 418.9829 * nVar - sumreturn fx# 子程序：模拟退火算法的参数设置
def ParameterSetting():cName = "funcOpt" # 定义问题名称nVar = 2 # 给定自变量数量，y=f(x1,..xn)xMin = [-500, -500] # 给定搜索空间的下限，x1_min,..xn_minxMax = [500, 500] # 给定搜索空间的上限，x1_max,..xn_maxtInitial = 100.0 # 设定初始退火温度(initial temperature)tFinal = 1 # 设定终止退火温度(stop temperature)alfa = 0.98 # 设定降温参数，T(k)=alfa*T(k-1)meanMarkov = 100 # Markov链长度，也即内循环运行次数scale = 0.5 # 定义搜索步长，可以设为固定值或逐渐缩小return cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale# 模拟退火算法
def OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale):
……
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