题目

描述

​

​ 第一段代码正确第用\(k\)进制\(BIT\)维护了前缀和；

​ 第二段代码由于写错了\(line \ 4\)，所以意义发生了改变；

​ 维护第二段代码执行\(ADD(x,v)\)和\(QUERY(x)\)的答案；

范围

​ $1 \le n \le 10^9  ,  1 \le q \le 2 \times 10^5  ,  2 \le k \le 10^5   $ ;

题解

• 首先不管如何变化，这都是一个树形结构；

• 但是由于\(n\)较大，所以无法直接支持维护树链；

• 设\(k = t \times 2 ^ p (t \% 2=1)\) ;

• 对于\(v = x 2^y (x \% 2=1)\)；

  • 1.当\(y \ge p\)时，执行ADD时\(v\)的最低位是不会改变的，同时由于\(x\)在\(t\)的意义下有逆元，所以\(v\)至多有一个满足$y\ge p $的儿子，即这些节点形成了很多条链；
  • 2.当\(y<p\)时，执行一次加最低位值会让\(y++\),注意有可能最低位变化然后重新来过，但是最多有\(log_k n\)次，即这些点最多向上$log_k  n  \times p = log_{k}  n  log_2  k = log_2  n $ 次就会到1中的链上去;

• 可以暴力\(HASH\)维护\(2\)，离散后用\(BIT\)维护\(1\) ;

• 只需要找到\(1\)中的链的叶子，注意在链上每次的进位是确定的，为对最低位的高一位进1；

• 链叶子满足\(x\)处于最低位，同时无法退位，所以形如:$ (2x+1) 2^p k^y  ,  (y \ge 0 , 0 \le x \lt \frac{\frac{t}{2^p}-1}{2}) $即可;

• 可以\(klog \ k\)倍增方便地找到这些位置；

• 时间复杂度应该是：$k log_2 k + q (log_2 n + log_2 q +loq_2 k ) $ ; ？(似乎和出题人分析的有点不太一样。。。)

• orz 租酥雨

  #include<bits/stdc++.h>
  #define pb push_back
  #define mk make_pair
  #define fi first
  #define se second
  #define ull unsigned long long
  #define il inline
  #define rg register
  using namespace std;
  const int N=200010,M=31;
  int n,m,k,MX,A,B,S,cnt,id;
  struct data{int op,x,y;}Q[N];
  int f[N][M],bin[M];
  pair<int,int>v1[N];
  //map<int,int>mp1;//,mp2;
  vector<int>vec[N],val[N],v2[N];
  ull pw[100];
  il char gc(){static char*p1,*p2,s[1000000];if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  il int rd(){int x=0;char c=gc();while(c<'0'||c>'9')c=gc();while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();return x;
  }
  const int sz=123451;
  struct Hash{int o,hd[sz],nt[N*M],v[N*M],w[N*M];int& operator [](const int&x){int y=x%sz;for(rg int i=hd[y];i;i=nt[i]){if(v[i]==x)return w[i];}nt[++o]=hd[y],hd[y]=o,v[o]=x,w[o]=0;return w[o];}
  }mp1,mp2;
  il void init(){int iv2=A+1>>1;for(rg int i=1;i<A;++i){if(i&1)f[i][0]=(ull)i*iv2%A;else f[i][0]=f[i>>1][0];while((f[i][0]&1)==0)f[i][0]>>=1;}for(rg int i=1;i<MX;++i)for(rg int j=0;j<A;++j)f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
  }
  il int get(int x,int y){int t=x/k;x%=k;x>>=B;while(x&&((x&1)==0))x>>=1; for(rg int i=0;i<MX;++i)if(bin[i]&t)t^=bin[i],x=f[x][i];x<<=B;x*=pw[y];if(!mp1[x])return mp1[x]=++id;return mp1[x];
  }
  il int inc(int&x,int&y,int c){while(x%c==0&&(x/=c))y++;}
  il void add(int x,int y,int z){for(;y<=vec[x].size();y+=y&-y)val[x][y]^=z;}
  il int ask(int x,int y){int re=0;for(;y;y-=y&-y)re^=val[x][y];return re;
  }
  il void upd(int x,int y,int z){y=lower_bound(vec[x].begin(),vec[x].end(),y)-vec[x].begin()+1;add(x,y,z);
  }
  il int que(int x,int y){if(vec[x].begin()==vec[x].end())return 0;y=lower_bound(vec[x].begin(),vec[x].end(),y+1)-vec[x].begin();return ask(x,y);
  }
  char ps[1000000],*pp=ps;
  void flush(){fwrite(ps,1,pp-ps,stdout);}
  void push(char x){if(pp==ps+1000000)fwrite(ps,1,1000000,stdout),pp=ps;*pp++=x;
  }
  void write(int x){static int sta[N],top;if(!x){push('0');push('\n');return;}while(x)sta[++top]=x%10,x/=10;while(top)push(sta[top--]^'0');push('\n');
  }
  int main(){freopen("fenwick.in","r",stdin);freopen("fenwick.out","w",stdout);n=rd();m=rd();k=rd();for(rg int i=bin[0]=pw[0]=1;i<=30;++i){bin[i]=bin[i-1]<<1;pw[i]=pw[i-1]*k;}inc(A=k,B=0,2);S=(1<<B)-1;MX=log2(n)+1;init();for(rg int i=1,op,t,p;i<=m;++i){Q[i].op=op=rd();if(op&1){Q[i].x=rd(),Q[i].y=rd();inc(p=Q[i].x,t=0,k);while((p%k&S) && (ull)p*pw[t]<=n){v2[i].pb(p*pw[t]);inc(p+=p%k,t,k);}if((ull)p*pw[t]<=n)vec[v1[i].fi=get(p,t)].pb(v1[i].se=p*pw[t]);}else Q[i].x=rd();}for(rg int i=1;i<=id;++i){sort(vec[i].begin(),vec[i].end());unique(vec[i].begin(),vec[i].end());for(int j=0;j<vec[i].size();++j)val[i].pb(0);val[i].pb(0);}for(rg int i=1,x,p,t;i<=m;++i){if(Q[i].op&1){for(int j=0;j<v2[i].size();++j)mp2[v2[i][j]]^=Q[i].y;if(v1[i].fi)upd(v1[i].fi,v1[i].se,Q[i].y);}else{int ans=0;inc(p=Q[i].x,t=0,k);while(p){if((p%k&S)==0)ans^=que(get(p,t),p*pw[t]);else ans^=mp2[p*pw[t]];inc(p-=p%k,t,k);}//  printf("%d\n",ans); write(ans);}}flush();return 0;
  }