透视投影变换矩阵推导学习笔记

最近在研究透视投影，Twinsen大神的神贴有非常详细的推导过程(传送门)，这里做一下学习笔记。

首先是两点基础的原理：

1.P经过矩阵M变换后得到P’点，如果知道P(x,y,z)和变换后的P’(x’,y’,z’)，只要P’点的各个分量x’,y’,z’可以表示成原分量x,y,z的线性表示，那么就可以反推出变换矩阵M。如P(x,y,z)，变换后的P’(2x+3y,7z,x+2y+3z)，则可以推导出变换矩阵为：

2.为了方便裁剪，顶点最终会被变换到一个叫做规则观察体（CVV）中，它是一个x,y,z均为[-1,1]的立方体，由于透视投影的视景体是锥形，所以要将视景体与CVV进行映射，就需要一个线性插值的过程，将[left,right]变换到[-1,1],将[bottom,top]变换到[-1,1]，将[near,far]变换到[-1,1]，如图：

下面简单的写下推导的主要步骤。

图中P(x,y,z)，投影平面为近平面，投影点P’(x’,y’,z’)，那么根据相似三角形有x/z=x’/z’，其中z’=-N，所以可以求得x’=-Nx/z，同理得y’=-Ny/z，所以P’(-Nx/z,-Ny/z,-N)。

这里得到的P’点的z坐标为常量，它不是x,y,z的线性组合，无法构建变换矩阵。通过观察-Nx/z,-Ny/z,都与1/z成线性相关，所以如果z’也与1/z线性相关，则可以得到P’(-Nx/z,-Ny/z,-(az+b)/z)，然后转换成齐次坐标P’(Nx,Ny,az+b,-z)，这样就可以构建出变换矩阵了。

所以在我们作为矩阵的变换后，记得将齐次坐标转换成普通坐标才是最终结果，也就是透视除法。

当然上面得到的矩阵并不是最终的矩阵，还需要构建CVV。

Z方向上：

X和Y方向上：

所以最终的投影点为

同理P’各个分量乘以-z，得到

使得各个分量均为x,y,z的线性表达式，这样就可以推导出变换矩阵

同样要记得：顶点通过该矩阵变换后，还要经过透视除法才能得到最终投影的点。之前看书时说投影矩阵变换得到的顶点坐标各个分量的值域是[-w,w]，原来是从这里反推的，也就明了。

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