复变函数映射后的象的计算

当我们知道复数z在xoy平面的图形后，我们如何计算经过w=f(z)映射后的象？

设z=x+iy,w=u+iv,其中u=u(x,y),v=v(x,y)。即我们如何计算w=u(x,y)+iv(x,y)在uov平面的象？

一、因为我们已知z在xoy平面的图形，即我们知道一个关于x和y之间的方程f(x,y)=0。

二、我们将z=x+iy带入w=f(z)中得到u=u(x,y),v=v(x,y)。

三、如果我们将x和y的方程f(x,y)=0代入u=u(x,y),v=v(x,y),将x或者y消去一个，则我们得到两个参数方程。这个参数方程中只有一个未消去的未知量，这个时候我们不必再想着这个未知量的几何意义了，只把它当成一个参数方程的参数。这个时候，我们就建立起了u和v之间的关系了。其中u，v不就是uov平面的两个坐标轴吗？这个跟实变函数里面就完全一致了。

当然，我们不必每次都要将z=x+iy这个形式代入w=f(z)中，因为可以将复数z转化成指数表达式或者三角表达式，根据具体题目的情况（这个时候，f(x,y)=0也要转化成对应的形式）。我们的思路就是建立u,v之间的联系，从而得到映射后的象。

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