查找的基本概念

线性表的查找

顺序查找（线性查找）

折半查找（二分或对分查找）

折半查找的性能分析——判定树

分块查找（索引顺序查找）

分块查找性能分析

三种方法比较

查找的基本概念

查找表是由同一类型的数据元素（或记录）构成的集合。由于“集合”中的数据元素之间存在着松散的关系（即无严格的前驱与后继关系），因此查找表是一种应用灵便的结构。

其中“灵便”是指：我们可以根据需要，将这些数据元素存成线性表或树表等。

什么是查找？

查找就是根据某个给定的值，在查找表中查找一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。

关键字（用来标识一个数据元素（或记录）的某个数据项的值）

关键字又分为主关键字和次关键字。

主关键字：可唯一地标识一个记录的关键字。（如查找张三的语文成绩，那么在成绩表中可以查找到一个唯一确定的值）
次关键字：用以识别若干记录的关键字。（如查找语文成绩为91分的人，那么就有可能在成绩表中查找到许多个语文成绩为91分的学生。）

如何确定查找是否成功？

若在查找表中存在一个与给定值相等的数据元素（或记录），则为“查找成功”。查找结果给出整个记录的信息，或指示该记录在查找表中的位置；反之，“查找不成功”，查找结果给出“空记录”或“空指针”。

查找的目的

查询某个“特定”数据元素是否在查找表中。
检索某个“特定”数据元素的各种属性。（如查找成绩表中张三的各科成绩）
在查找表中插入一个数据元素。
在查找表中删除某个数据元素。

查找表的分类

静态查找表：仅作“查询”（检索）操作的查找表。
动态查找表：在“查询”完之后，还要作“插入”或“删除”操作的查找表。

怎样评价查找算法？

查找算法的评价指标：平均查找长度（ASL），即关键字的平均比较次数。

ASL=Average Search Length

ASL= （关键字比较次数的期望值）

n：表中记录的个数

pi：查找第i个记录的概率（通常认为pi= 1/n）

ci：找到第i个记录所需要的比较次数

线性表的查找

顺序查找（线性查找）

应用范围：顺序表或线性链表表示的静态查找表；表内元素之间无序

例如：表ST中有12为元素，其中下标为0的位置不存放元素。 ST.length=11

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5	9	56	32	74	11	45	30	75	46	25	88

在查找此表时，有两种方法：第一种，从前往后找；第二种，从后往前找。

在顺序表ST中查找值为11的数据元素，查到了，返回6；若在表中查找10，未找到，返回0。

改进：把待查关键字key存入表头（即设立“哨兵”），可以免去查找过程中每一步都要检测是否查找完毕，加快速度。当ST.length较大时，此改进能使进行一次查找所需的平均时间几乎减少一半。

/*数据元素类型定义*/
typedef struct {KeyType key; //关键字域…… ； //其他域
}ElemType;typedef struct { //顺序表结构类型定义ElemType *R;  //表基址int length;  //表长
}SSTable; //Sequential Search Table
SSTable ST; //定义顺序表ST/*算法（设有哨兵）*/
int Search(SSTable ST,KeyType key)
{ST.R[0].key=key;int i;for(i=ST.length;ST.R[i].key!=key;i--);return i;
}

顺序查找的比较次数与key位置有关：

查找第i个元素，需要比较n+1-i次；查找失败，需要比较n+1次。

时间复杂度：O(n)

查找成功时的平均查找长度：设表中各个记录查找效率相等，ASL=(n+1)/2。

空间复杂度：需要一个辅助空间——O(1)

顺序查找的优缺点：

优点：算法简单，逻辑次序无要求，且适用于不同的存储结构。

缺点：ASL太长，时间效率太低。

折半查找（二分或对分查找）

折半查找将每次待查记录所在的区间缩小一半。进行折半查找的要求是顺序表中的记录之间是有序的。（如：递增序列或递减序列）

查找过程：（查找32）

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5	9	13	32	39	40	45	50	75	79	82	88

| | |

low mid high

mid=(low+high)/2; 当key(32)<mid上的值,high移动到mid的前一位:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5	9	13	32	39	40	45	50	75	79	82	88

| | |

low high mid

再进行mid=(low+high)/2,mid移动到下标为3的位置:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5	9	13	32	39	40	45	50	75	79	82	88

| | |

low mid high

此时比较关键字与mid位置上的值，发现key>mid,则low的位置移动到mid的后一位，即low=mid+1：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5	9	13	32	39	40	45	50	75	79	82	88

| | |

mid low high

再进行mid=(low+high)/2，mid的值为4：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5	9	13	32	39	40	45	50	75	79	82	88

| |

low high

mid

此时比较关键字与mid位置上的值，发现他俩相等，即找到。

若查找的是30:此时的mid为4，low为4，high为5, 此时的mid位置上的值与关键字的值仍不相等，并且比mid位置上的值小，则high=mid-1:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5	9	13	32	39	40	45	50	75	79	82	88

| |

high low

mid

此时，high<low,查找结束。

/*非递归算法*/
int Search(SSTable ST,KeyType key){int low,high,mid; low=1;high=ST.length; //设置区间初值while(low<=high){mid=(low+high)/2; //计算mid的值if(ST,R[mid].key==key) return mid; //找到待查找的元素else if(key<ST.R[mid].key) //缩小查找区间high=mid+1; //继续在前半区查找else low=mid+1; //继续在后半区查找}retur 0; //顺序表中未找到待查找的元素
}

/*递归算法*/
int search(SSTable ST,KeyType key,int low,int high)
{if(low>high) return 0; //查找不到时返回0 mid=(low+high)/2;else if(ST.R[mid].key==key) return mid;else if(ST.R[mid].key>key)search(ST,key,low,mid-1); //递归，在前半区进行查找else search(ST,key,mid+1,low); //递归，在后半区进行查找}

折半查找的性能分析——判定树

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	5	9	13	32	39	40	45	50	75	79	82

3 4 2 3 4 1 3 4 2 3 4

上面一行数字为查找各位置元素需比较次数。

若查找的是6号位置的元素，则该元素只需要比较1次便可找到，对应在二叉判定树的第一层；

3、9号位置的元素需要比较二次才能找到，对应在二叉判定树的第二层……

上面的表格对应的二叉判定树为：

树中结点内的数字代表表中记录的位置。

查找成功：

比较次数=路径上的结点数（从根结点开始）=结点的层数
比较次数<=树的深度：()+1

查找不成功时：比较次数<=()+1

上图二叉判定树对应的查找成功时的平均查找长度：

ASL=(1*1+2*2+3*4+4*4)/11=3

平均查找长度ASL（成功时）：

设表长为n,n=-1,（h表示判定树为深度=h的满二叉树），h=，且表中每个记录的查找概率相等，都为1/n，则：

ASL约等于 (n>50)

折半查找的优缺点：

优点：效率比顺序查找高。

缺点：只适用与有序表，并且是顺序存储结构，对于线性链表无效。若想对表中的元素进行插入或者删除时，需要移动大量的元素。

分块查找（索引顺序查找）

分块查找是在查找时，先确定需要查找的元素所在哪一块，然后进入到那一块区域中进行查找，这样查找也大大缩小了需要查找的范围。

分块查找，又叫索引顺序表的查找。

应用分块查找时，需要满足：

将表分为几块，表中的内容既可以是有序的，也可以是无序的，但是要求分块有序（块与块的排序是有序的）：例如，将一个表分为1,2两块，则第2块中的所有记录的关键字的值均大于第1块中的最大关键字的值。
建立“索引表”（每个结点含有最大关键字域和指向本块第一个结点的指针，且按关键字有序）。

查找过程：先确定待查记录所在块（顺序或者折半查找），再在块内查找（顺序查找；若块内记录也是有序的，也可用折半查找）。

分块查找性能分析：

分块查找的ASL是由两部分构成：

对索引表查找的ASL
对块内查找的ASL

索引表是有序的，它的平均查找长度按照二分法来算。

ASL=，n是指线性表中的元素个数，s是指每块内部的元素个数，n/s即块的数目。s/2是在块内的平均查找长度。

<= ASL <= (n+1)/2 ，分块查找的ASL比二分查找的要大，比顺序查找的要小，且更接近与二分查找的ASL。

分块查找的优缺点：

优点：插入和删除比较容易，无需将元素进行大量的移动。

缺点：要增加一个索引表的存储空间并对初始索引表进行排序运算。

适用情况：适用于线性表既要快速查找又经常动态变化。

三种方法比较

	顺序查找	折半查找	分块查找
ASL	最大	最小	中等
表结构	有序表、无序表	有序表	分块有序
存储结构	顺序表、线性链表	顺序表	顺序表、线性链表

欢迎大家的指正。

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