一文彻底搞懂积分等式证明题(积分证明题总结笔记1/3)

积分证明题是考研中难度较大的板块，很多学弟学妹们希望我出一篇总结文章，故作本文，希望对大家有所帮助。本文所涉及题目，均是来自市面上常见题册（李林880，张宇1000题，汤家凤1800等）

由于内容较多，故分为三部分：

等式证明（本文所讲）
由积分判断函数零点个数（点击进入）
不等式证明（点击进入）

积分等式证明：

大致分为有参数和无参数两部分。方法总结如下图所示：

方法一览

1.无参数等式证明

无参数说白了，就是题目中不含“存在一点x，使得xxxxx”这样的语句。针对无参数等式，我们通常是从积分上下限和被积函数入手，进行思考。

a.分部积分

使用信号：
题目中含有 ∫abu(k)vdx和∫abuv(k)dx\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx 和 \int_{a}^{b}uv^{(k)}dx∫abu(k)vdx和∫abuv(k)dx 时，可以考虑使用分部积分。

原因分析：
分部积分就是：∫abu′(x)v(x)dx=u(x)v(x)∣ab−∫abu(x)v′(x)dx\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx∫abu′(x)v(x)dx=u(x)v(x)∣ab−∫abu(x)v′(x)dx
即是把求 u′vu'vu′v 的积分转变为求 uvuvuv 的积分。所以不难得出分部积分的“功效”就是让积分号里面的两个函数一个求导一个积分。
这里uvuvuv没有考虑是因为对于分部积分而言，uvuvuv并不难解决，容易算出来。因此关键还是两个积分的转换。
由于分部积分可以连续使用，所以可以使积分号里面的一个函数求导若干次另一个积分若干次，如下使用k次(k为偶数)分部积分：
∫abu(k)vdx=\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx=∫abu(k)vdx=某些式子+∫abuv(k)dx+\int_{a}^{b}uv^{(k)}dx+∫abuv(k)dx
若此时“某些式子”可以根据题目条件或者自身特性求出来等于0，此时即有最简形式：
∫abu(k)vdx=∫abuv(k)dx\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx=\int_{a}^{b}uv^{(k)}dx∫abu(k)vdx=∫abuv(k)dx
由此可见，如果题目让你求含有 ∫abu(k)vdx和∫abuv(k)dx\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx 和 \int_{a}^{b}uv^{(k)}dx∫abu(k)vdx和∫abuv(k)dx 可以考虑使用分部积分来解。

例题解析：

本题就是找到了 ∫01u(2)vdx和∫01uv(2)dx\int_{0}^{1}u^{(2)}vdx 和 \int_{0}^{1}uv^{(2)}dx∫01u(2)vdx和∫01uv(2)dx ，进而判断是用分部积分，且需要用两次。

b.区间再现公式

使用信号：
等式中两个积分上下限相同。且其中一个积分可以看成这种形式：∫abf(x)g(x)dx，y=g(x)\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx ，y=g(x)∫abf(x)g(x)dx，y=g(x)图像关于 x=a+b2x=\frac{a+b}{2}x=2a+b 对称， y=f(x)y=f(x)y=f(x)图像关于 x=a+b2x=\frac{a+b}{2}x=2a+b 上某点中心对称时，考虑使用。

原因分析：
区间再现公式为： I=∫abf(x)g(x)dx通过换元t=a+b−x得到：I=∫abf(a+b−t)g(a+b−t)dtI=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx 通过换元 t=a+b-x 得到： I=\int_{a}^{b}f(a+b-t)g(a+b-t)dtI=∫abf(x)g(x)dx通过换元t=a+b−x得到：I=∫abf(a+b−t)g(a+b−t)dt ,两者再相加除以2得：
I=12∫ab[f(a+b−x)g(a+b−x)+f(x)g(x)]dxI=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x)]dxI=21∫ab[f(a+b−x)g(a+b−x)+f(x)g(x)]dx 。可见经过这个换元之后，积分上下限没有发生变化——所以叫区间再现。什么时候使用这个方法呢？当然在
f(a+b−x)g(a+b−x)+f(x)g(x)比f(x)g(x)f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x) 比 f(x)g(x)f(a+b−x)g(a+b−x)+f(x)g(x)比f(x)g(x) 更简单（更容易积分）时使用。
那什么时候更简单？
显而易见：y=g(x)图像关于x=a+b2y=g(x)图像关于 x=\frac{a+b}{2}y=g(x)图像关于x=2a+b 对称， y=f(x)关于x=a+b2y=f(x) 关于 x=\frac{a+b}{2}y=f(x)关于x=2a+b 上某点中心对称时。
此时： g(a+b−x)=g(x),f(a+b−x)+f(x)=cg(a+b-x)=g(x), f(a+b-x)+f(x)=cg(a+b−x)=g(x),f(a+b−x)+f(x)=c
进而：f(a+b−x)g(a+b−x)+f(x)g(x)=cg(x)f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x)=cg(x)f(a+b−x)g(a+b−x)+f(x)g(x)=cg(x)
从而：I=c2∫abg(x)dxI=\frac{c}{2}\int_{a}^{b}g(x)dxI=2c∫abg(x)dx ，即有： I=∫abf(x)g(x)dx=c2∫abg(x)dxI=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\frac{c}{2}\int_{a}^{b}g(x)dxI=∫abf(x)g(x)dx=2c∫abg(x)dx
为了方便，上述证明作为下面例题的引证。

例题解析：

c.换元积分

使用信号：
上述两种方法搞不定时，尝试使用。
换元分类：
有两种常见的换元方法，一个就是 x=kt+mx=kt+mx=kt+m ，另一个就是 x=abtx=\frac{ab}{t}x=tab
第一种( x=kt+mx=kt+mx=kt+m)：
∫ab→∫cd（b>a,d>c）\int_{a}^{b}\rightarrow\int_{c}^{d} （b>a,d>c）∫ab→∫cd（b>a,d>c）
设 x=kt+mx=kt+mx=kt+m ，于是有

相关例题：

第二种(x=abtx=\frac{ab}{t}x=tab)：
∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫abf(x)dx 通过换元 x=abtx=\frac{ab}{t}x=tab 得到 ab∫ab1t2f(abt)dtab\int_{a}^{b}\frac{1}{t^{2}}f(\frac{ab}{t})dtab∫abt21f(tab)dt

相关例题：

2.有参数等式证明

有参数就是题目中含有“存在一点x，使得xxxxx”这样的语句。针对有参数的题目，我们需要研究这个参数是怎么来的，进而得到多种方法。

得到参数的方法常见有如下几种：

零点定理
介值定理
积分中值定理
微分中值定理

下面来围绕这几点来写：
由于直接使用介值定理和积分中值定理的题目较为简单，所以这里主要讲它俩和其他方法混用的情况。

a.零点定理

解题思路：
移项设函数 →\rightarrow→ 找两点 →\rightarrow→ 零点定理

具体例题：

b.泰勒展开+介值定理

使用信号：
等式中含有 ∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫abf(x)dx 和 f′′(ξ)f''(\xi)f′′(ξ) 时，考虑使用
解题思路：
在某点泰勒展开 →\rightarrow→ 积分 →\rightarrow→ 介值定理
例题如下：

运用泰勒展开的其中一个关键问题在于：在哪点展开。一般来说，是在区间中点处展开，因为这样积分的话，可以消除奇数阶导数，简化展开式。本题也是在中点0处展开的。

c.分部积分+积分中值定理

使用信号：
等式中含有 ∫abf(x)g(x)dx和g∫aξfdx\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx 和 g\int_{a}^{\xi}fdx∫abf(x)g(x)dx和g∫aξfdx或 g∫ξbfdxg\int_{\xi}^{b}fdxg∫ξbfdx 时，考虑使用
解题思路：
设 F(x)=∫axf(t)dt→F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \rightarrowF(x)=∫axf(t)dt→ 分部积分 →\rightarrow→ 积分中值定理 →\rightarrow→ 化简即可

例题如下：

d.微分中值定理

该方法关键步骤就是设 F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_{a}^{x}f(t)dtF(x)=∫axf(t)dt ，这样进而将含有积分的等式转变为不含积分的等式。从而能用微分中值定理的相关知识进行求解。

解题思路
设 F(x)=∫axf(t)dt→F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \rightarrowF(x)=∫axf(t)dt→ 变形 →\rightarrow→ 运用微分中值定理
具体使用哪种微分中值定理，可以根据变形后的式子来确定
例题如下：

罗尔定理例题：

拉格朗日中值定理：

柯西中值定理：

到此结束~
我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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