4 边值问题

边值问题，即在边界面上已知某些函数值，且函数值满足一定条件，据此来求的外部或内部的调和、并且在无穷远处正则的函数。

根据给定的边值条件不同，分为三种边值问题：

• 第一边值问题：Dirichlet问题——已知边界面上引力位 VVV
• 第二边值问题：Neumann问题——已知边界面上引力位的法向导数 ∂V∂n\frac{\partial V}{\partial n}∂n∂V​
• 第三边值问题：Robin问题——已知边界面上引力位法向导数和引力位的线性组合 hV+h∂V∂nhV+h\frac{\partial V}{\partial n}hV+h∂n∂V​

4.1 格林公式求解边值问题

4.1.1 格林公式

内部第一格林公式

记D(U,V)D(U,V)D(U,V)为：
D(U,V)=∂U∂x∂V∂x+∂U∂y∂V∂y+∂U∂z∂V∂zD(U,V)= \frac{\partial U}{\partial x}\frac{\partial V}{\partial x} +\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z}\frac{\partial V}{\partial z} D(U,V)=∂x∂U​∂x∂V​+∂y∂U​∂y∂V​+∂z∂U​∂z∂V​
则内部第一格林公式表示为：
∭vUΔVdv+∭vD(U,V)dv=∬sU∂V∂ndS\iiint\limits_{v}{U\Delta Vdv}+\iiint\limits_{v}{D(U,V)dv}=\iint\limits_{s}U\frac{\partial V}{\partial n}dS v∭​UΔVdv+v∭​D(U,V)dv=s∬​U∂n∂V​dS

内部第二格林公式

将内部第一格林公式中的 U,VU,VU,V 互换：
∭vVΔUdv+∭v(∂U∂x∂V∂x+∂U∂y∂V∂y+∂U∂z∂V∂z)dv=∬sV∂U∂ndS\iiint\limits_{v}{V\Delta Udv}+\iiint\limits_{v}{\left( \frac{\partial U}{\partial x}\frac{\partial V}{\partial x} +\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z}\frac{\partial V}{\partial z}\right)dv}=\iint\limits_{s}V\frac{\partial U}{\partial n}dS v∭​VΔUdv+v∭​(∂x∂U​∂x∂V​+∂y∂U​∂y∂V​+∂z∂U​∂z∂V​)dv=s∬​V∂n∂U​dS
和第一恒等式相减：
∭v(UΔV−VΔU)dv=∬s(U∂V∂n−V∂U∂n)dS\iiint\limits_{v}{\left(U\Delta V-V\Delta U\right)dv}=\iint\limits_{s}{\left(U\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial U}{\partial n} \right)dS} v∭​(UΔV−VΔU)dv=s∬​(U∂n∂V​−V∂n∂U​)dS
即得到内部第二格林公式

外部第一格林公式

在外部时，为了使得 nnn 仍然为向外的法线，需要将 ∂∂n\frac{\partial}{\partial n}∂n∂​ 的符号反号，即得到：
∭vUΔVdv+∭vD(U,V)dv=−∬sU∂V∂ndS\iiint\limits_{v}{U\Delta Vdv}+\iiint\limits_{v}{D(U,V)dv}=-\iint\limits_{s}U\frac{\partial V}{\partial n}dS v∭​UΔVdv+v∭​D(U,V)dv=−s∬​U∂n∂V​dS

外部第二格林公式

同理得：
∭v(UΔV−VΔU)dv=−∬s(U∂V∂n−V∂U∂n)dS\iiint\limits_{v}{\left(U\Delta V-V\Delta U\right)dv}=-\iint\limits_{s}{\left(U\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial U}{\partial n} \right)dS} v∭​(UΔV−VΔU)dv=−s∬​(U∂n∂V​−V∂n∂U​)dS

4.1.2 格林公式的应用

4.1.2.1 计算地球质量

令 U=1U=1U=1 ，代入内部第二格林公式：
∭vΔVdv=∬s∂V∂ndS(1)\iiint\limits_{v}{\Delta Vdv}=\iint\limits_{s}{\frac{\partial V}{\partial n}dS} \tag{1} v∭​ΔVdv=s∬​∂n∂V​dS(1)
令 V=W(重力位)V=W(重力位)V=W(重力位)，则有
ΔW=−4πGρ+2ω2\Delta W=-4\pi G\rho + 2\omega ^2 ΔW=−4πGρ+2ω2
设 vvv 为地球体积，SSS 为地球实际表面，则∂W∂n=−gn\frac{\partial W}{\partial n}=-g_n∂n∂W​=−gn​，它是地球表面 SSS 的法线方向重力分量。

将以上条件代入（1）式：
∭v(−4πGρ+2ω2)dv=−∬sgndS⇒−4πG∭vρdv+∭v2ω2dv=−∬sgndS⇒−4πGM+2ω2v=−∬sgndS⇒M=14πG(∬sgndS+2ω2v)\iiint\limits_{v}{\left( -4\pi G\rho + 2\omega ^2\right)dv}=-\iint\limits_{s}{g_ndS} \\ \Rightarrow -4\pi G\iiint\limits_{v}{\rho dv}+\iiint\limits_{v}{2\omega ^2 dv}=-\iint\limits_{s}{g_ndS} \\ \Rightarrow -4\pi GM+2\omega ^2 v=-\iint\limits_{s}{g_ndS} \\ \Rightarrow M=\frac{1}{4 \pi G}\left(\iint\limits_{s}{g_ndS} + 2\omega ^2 v \right) v∭​(−4πGρ+2ω2)dv=−s∬​gn​dS⇒−4πGv∭​ρdv+v∭​2ω2dv=−s∬​gn​dS⇒−4πGM+2ω2v=−s∬​gn​dS⇒M=4πG1​⎝⎛​s∬​gn​dS+2ω2v⎠⎞​
通过这一式子，即可根据地球表面重力来计算地球质量。

4.1.3 第一边值问题（Dirichlet问题）

令
U=1l，V为质体内部的位函数U=\frac{1}{l}，V为质体内部的位函数 U=l1​，V为质体内部的位函数
代入内部第二格林公式：
∭v(1lΔV−VΔ1l)dv=∬s(1l∂V∂n−V∂∂n(1l))dS\iiint\limits_{v}{\left(\frac{1}{l}\Delta V-V\Delta \frac{1}{l}\right)dv}=\iint\limits_{s}{\left(\frac{1}{l}\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial }{\partial n}\left( \frac{1}{l}\right)\right)dS} v∭​(l1​ΔV−VΔl1​)dv=s∬​(l1​∂n∂V​−V∂n∂​(l1​))dS
之前证明过， 1l\frac{1}{l}l1​是一个谐函数，即Δ1l=0\Delta \frac{1}{l}=0Δl1​=0。又根据泊松公式：ΔV=−4πGρ\Delta V=-4\pi G\rhoΔV=−4πGρ 。因此化简得：
−4πG∭vρldv=∬s(1l∂V∂n−V∂∂n(1l))dS-4\pi G\iiint\limits_{v}{\frac{\rho}{l}dv}=\iint\limits_{s}{\left(\frac{1}{l}\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial }{\partial n}\left( \frac{1}{l}\right)\right)dS} −4πGv∭​lρ​dv=s∬​(l1​∂n∂V​−V∂n∂​(l1​))dS
根据位函数基本公式：
V=G∭vρldvV=G\iiint\limits_{v}{\frac{\rho}{l}dv} V=Gv∭​lρ​dv
代入得：
∬s(1l∂V∂n−V∂∂n(1l))dS=−4πV(1)\iint\limits_{s}{\left(\frac{1}{l}\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial }{\partial n}\left( \frac{1}{l}\right)\right)dS}=-4\pi V \tag{1} s∬​(l1​∂n∂V​−V∂n∂​(l1​))dS=−4πV(1)
又令 uuu 为任意一个在外部调和、无穷远处正则的函数，代入外部第二格林公式得：
∭v(uΔV−VΔu)dv=−∬s(u∂V∂n−V∂u∂n)dS\iiint\limits_{v}{\left(u\Delta V-V\Delta u\right)dv}=-\iint\limits_{s}{\left(u\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial u}{\partial n} \right)dS} v∭​(uΔV−VΔu)dv=−s∬​(u∂n∂V​−V∂n∂u​)dS
在外部 VVV 同样是调和函数，因此式子左边为0，即：
∬s(u∂V∂n−V∂u∂n)dS=0(2)\iint\limits_{s}{\left(u\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial u}{\partial n} \right)dS}=0 \tag{2} s∬​(u∂n∂V​−V∂n∂u​)dS=0(2)
（1）（2）两式相减得：
∬s((u−1l)∂V∂n−V∂∂n(u−1l))dS=4πV(3)\iint\limits_{s}{\left(\left(u-\frac{1}{l}\right)\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial }{\partial n}\left( u-\frac{1}{l}\right)\right)dS}=4\pi V \tag{3} s∬​((u−l1​)∂n∂V​−V∂n∂​(u−l1​))dS=4πV(3)
引入格林函数：
fG=u−1lf_G=u-\frac{1}{l} fG​=u−l1​
假定 uuu 在 SSS 面上等于 1l\frac{1}{l}l1​，则代入（3）式可得：
4πV=−∬s(V∂fG∂n)dS(3)4\pi V \tag{3}=-\iint\limits_{s}{\left(V\frac{\partial f_G}{\partial n}\right)dS} 4πV=−s∬​(V∂n∂fG​​)dS(3)
可以看到，如果已知物体表面上 vvv 的值、边界面以及 fGf_GfG​ 的值，可以求出外部引力位。

4.1.2 第二边值问题（Neumann问题)

类似地，假定 uuu 使得格林函数在边界面上的法向导数为0，即：
∂fG∂n∣s=0\frac{\partial f_G}{\partial n}\bigg|_{s}=0 ∂n∂fG​​∣∣∣∣​s​=0
依然是代入（3）式：
4πV=∬s(∂v∂nfG)dS4\pi V=\iint\limits_{s}{\left(\frac{\partial v}{\partial n}f_G\right)dS} 4πV=s∬​(∂n∂v​fG​)dS
如果已知物体表面上 ∂v∂n\frac{\partial v}{\partial n}∂n∂v​ 的值、边界面以及 fGf_GfG​ 的值，可以求出外部引力位。

4.2.3 第三边值问题（Robin问题）

一样的方法，根据边值条件来假定u：
[α(u−1l)+β∂∂n(u−1l)]∣s=0\left[\alpha \left( u-\frac{1}{l}\right)+\beta \frac{\partial}{\partial n}\left( u-\frac{1}{l}\right)\right]\bigg|_{s}=0 [α(u−l1​)+β∂n∂​(u−l1​)]∣∣∣∣​s​=0
这里推导较为繁琐，懒得打了，直接从PPT里截了个图

4.2 球函数求解边值问题

4.2.1 第一边值问题（Dirichlet问题）

假设边界面是一个单位球面，位函数表示为V(1,θ,λ)V(1,\theta,\lambda)V(1,θ,λ)，此时 r=1r=1r=1，则可以将其展开为面球谐函数：
V(1,θ,λ)=∑n=0∞Yn(θ,λ)V(1,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{Y_n(\theta,\lambda)} V(1,θ,λ)=n=0∑∞​Yn​(θ,λ)
在球面之外，容易得到函数解：
Ve(r,θ,λ)=∑n=0∞1rn+1Yn(θ,λ)V_e(r,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{r^{n+1}}Y_n(\theta,\lambda)} Ve​(r,θ,λ)=n=0∑∞​rn+11​Yn​(θ,λ)
球面之内则有函数解：
Vi(r,θ,λ)=∑n=0∞rnYn(θ,λ)V_i(r,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{r^nY_n(\theta,\lambda)} Vi​(r,θ,λ)=n=0∑∞​rnYn​(θ,λ)
这几个函数都收敛，并且都是谐函数，因此满足条件。

那么对于半径为 RRR 的球体，同样先展开为：
V(R,θ,λ)=∑n=0∞Yn(θ,λ)V(R,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{Y_n(\theta,\lambda)} V(R,θ,λ)=n=0∑∞​Yn​(θ,λ)
书上直接给出了面谐函数的公式（也可以通过分解公式代入求得，但我不会）：
Yn(θ,λ)=2n+14π∫λ′=02π∫θ′=0πV(R,θ′,λ′)Pn(cos⁡ψ)sin⁡θ′dθ′dλ′Y_n(\theta,\lambda)=\frac{2n+1}{4\pi}\int_{\lambda'=0}^{2\pi}{\int_{\theta'=0}^{\pi}{V(R,\theta',\lambda')P_n(\cos{\psi})\sin{\theta'}d\theta'd\lambda'}} Yn​(θ,λ)=4π2n+1​∫λ′=02π​∫θ′=0π​V(R,θ′,λ′)Pn​(cosψ)sinθ′dθ′dλ′
这里可以简单理解成将单位球面等比例缩放，将原来的111替换为 rR\frac{r}{R}Rr​ ，解得面外和面内的函数为：
Ve(r,θ,λ)=∑n=0∞(Rr)n+1Yn(θ,λ)Vi(r,θ,λ)=∑n=0∞(rR)nYn(θ,λ)V_e(r,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}Y_n(\theta,\lambda)} \\ V_i(r,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{r}{R}\right)^{n}Y_n(\theta,\lambda)} Ve​(r,θ,λ)=n=0∑∞​(rR​)n+1Yn​(θ,λ)Vi​(r,θ,λ)=n=0∑∞​(Rr​)nYn​(θ,λ)
仅考虑面外部分，代入面谐函数公式：
Ve(r,θ,λ)=∑n=0∞(Rr)n+12n+14π∫λ′=02π∫θ′=0πV(R,θ′,λ′)Pn(cos⁡ψ)sin⁡θ′dθ′dλ′=14π∫λ′=02π∫θ′=0πV(R,θ′,λ′)[∑n=0∞(2n+1)(Rr)n+1Pn(cos⁡ψ)]sin⁡θ′dθ′dλ′V_e(r,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}\frac{2n+1}{4\pi}\int_{\lambda'=0}^{2\pi}{\int_{\theta'=0}^{\pi}{V(R,\theta',\lambda')P_n(\cos{\psi})\sin{\theta'}d\theta'd\lambda'}}} \\ =\frac{1}{4\pi}\int_{\lambda'=0}^{2\pi}{\int_{\theta'=0}^{\pi}{V(R,\theta',\lambda')\left[\sum_{n=0}^{\infty}{(2n+1)\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos{\psi})}\right]\sin{\theta'}d\theta'd\lambda'}} Ve​(r,θ,λ)=n=0∑∞​(rR​)n+14π2n+1​∫λ′=02π​∫θ′=0π​V(R,θ′,λ′)Pn​(cosψ)sinθ′dθ′dλ′=4π1​∫λ′=02π​∫θ′=0π​V(R,θ′,λ′)[n=0∑∞​(2n+1)(rR​)n+1Pn​(cosψ)]sinθ′dθ′dλ′
接下来对方括号内的值进行化简：
∑n=0∞(2n+1)(Rr)n+1Pn(cos⁡ψ)\sum_{n=0}^{\infty}{(2n+1)\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos{\psi})} n=0∑∞​(2n+1)(rR​)n+1Pn​(cosψ)
根据距离倒数的展开式：
1l=1r2+R2−2rRcos⁡ψ=∑n=0∞Rnrn+1Pn(cos⁡ψ)(1)\frac{1}{l}=\frac{1}{\sqrt{r^2+R^2-2rR\cos{\psi}}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{R^n}{r^{n+1}}P_n\left( \cos \psi \right)} \tag{1} l1​=r2+R2−2rRcosψ​1​=n=0∑∞​rn+1Rn​Pn​(cosψ)(1)
左右同时对 rrr 微分得：
−122r−2Rcos⁡ψ(r2+R2−2rRcos⁡ψ)3=−(n+1)∑n=0∞Rnrn+2Pn(cos⁡ψ)⇒r−Rcos⁡ψl3=(n+1)∑n=0∞Rnrn+2Pn(cos⁡ψ)(2)-\frac{1}{2}\frac{2r-2R\cos{\psi}}{\left(\sqrt{r^2+R^2-2rR\cos{\psi}}\right)^3}=-(n+1)\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{R^n}{r^{n+2}}P_n\left( \cos \psi \right)} \\ \Rightarrow \frac{r-R\cos{\psi}}{l^3}=(n+1)\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{R^n}{r^{n+2}}P_n\left( \cos \psi \right)} \tag{2} −21​(r2+R2−2rRcosψ​)32r−2Rcosψ​=−(n+1)n=0∑∞​rn+2Rn​Pn​(cosψ)⇒l3r−Rcosψ​=(n+1)n=0∑∞​rn+2Rn​Pn​(cosψ)(2)
为了构造出(2n+1)(2n+1)(2n+1)的形式，并且让 r,Rr,Rr,R 的次数都为 n+1n+1n+1，

将(1)(1)(1)式乘以−R-R−R 得：
−Rl=−∑n=0∞(Rr)n+1Pn(cos⁡ψ)-\frac{R}{l}=-\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}P_n\left( \cos \psi \right)} −lR​=−n=0∑∞​(rR​)n+1Pn​(cosψ)
将(2)(2)(2)式乘以 2rR2rR2rR 得：
2rR(r−Rcos⁡ψ)l3=(2n+2)∑n=0∞(Rr)n+1Pn(cos⁡ψ)\frac{2rR(r-R\cos{\psi})}{l^3}=(2n+2)\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}P_n\left( \cos \psi \right)} l32rR(r−Rcosψ)​=(2n+2)n=0∑∞​(rR​)n+1Pn​(cosψ)
两式相加得：
−Rl2+2rR(r−Rcos⁡ψ)l3=(2n+1)∑n=0∞(Rr)n+1Pn(cos⁡ψ)⇒−R(r2+R2−2rRcos⁡ψ)+2rR(r−Rcos⁡ψ)l3=(2n+1)∑n=0∞(Rr)n+1Pn(cos⁡ψ)⇒R(r2−R2)l3=(2n+1)∑n=0∞(Rr)n+1Pn(cos⁡ψ)\frac{-Rl^2+2rR(r-R\cos{\psi})}{l^3}=(2n+1)\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}P_n\left( \cos \psi \right)} \\ \Rightarrow \frac{-R(r^2+R^2-2rR\cos{\psi})+2rR(r-R\cos{\psi})}{l^3}=(2n+1)\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}P_n\left( \cos \psi \right)} \\ \Rightarrow \frac{R(r^2-R^2)}{l^3}=(2n+1)\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{R}{r}\right)^{n+1}P_n\left( \cos \psi \right)} l3−Rl2+2rR(r−Rcosψ)​=(2n+1)n=0∑∞​(rR​)n+1Pn​(cosψ)⇒l3−R(r2+R2−2rRcosψ)+2rR(r−Rcosψ)​=(2n+1)n=0∑∞​(rR​)n+1Pn​(cosψ)⇒l3R(r2−R2)​=(2n+1)n=0∑∞​(rR​)n+1Pn​(cosψ)
至此就已经完成了化简。将式子代入：
Ve(r,θ,λ)=R(r2−R2)4π∫λ′=02π∫θ′=0πV(R,θ′,λ′)l3sin⁡θ′dθ′dλ′V_e(r,\theta,\lambda) =\frac{R(r^2-R^2)}{4\pi}\int_{\lambda'=0}^{2\pi}{\int_{\theta'=0}^{\pi}{\frac{V(R,\theta',\lambda')}{l^3}\sin{\theta'}d\theta'd\lambda'}} Ve​(r,θ,λ)=4πR(r2−R2)​∫λ′=02π​∫θ′=0π​l3V(R,θ′,λ′)​sinθ′dθ′dλ′
这就是泊松积分式。也是Dirichlet问题的直接解。

4.2.2 第二边值问题（Neumann问题)

对于第二边值问题，基本思路和第一边值问题没有区别。简单来说，给定了什么函数值，就展开什么函数值。

第二边值问题中给定 SSS 面上法向导数∂V∂n\frac{\partial V}{\partial n}∂n∂V​，所以先将法向导数展开为面球谐函数：
(∂V∂n)r=R=∑n=0∞Yn(θ,λ)\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{r=R}=\sum_{n=0}^{\infty}{Y_n(\theta,\lambda)} (∂n∂V​)r=R​=n=0∑∞​Yn​(θ,λ)
同时注意到，在球面上法向导数和径向梯度是相等的，即：
(∂V∂n)r=R=(∂V∂r)r=R\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{r=R}=\left( \frac{\partial V}{\partial r} \right)_{r=R} (∂n∂V​)r=R​=(∂r∂V​)r=R​
因此Neumann问题变成了寻找一个表达式，使得它对 rrr 微分后等于面球谐函数展开式。

直接给出结果：
Ve(r,θ,λ)=−R∑n=0∞(Rr)n+1Yn(θ,λ)n+1V_e(r,\theta,\lambda)=-R\sum_{n=0}^{\infty}{\left( \frac{R}{r} \right)^{n+1}\frac{Y_n(\theta,\lambda)}{n+1}} Ve​(r,θ,λ)=−Rn=0∑∞​(rR​)n+1n+1Yn​(θ,λ)​
其正确性很容易通过求微分来验证。

4.2.3 第三边值问题（Robin问题）

第三边值问题可以用于通过重力异常确定大地水准面起伏。

仍然是将给定条件展开：
hV+k∂V∂n=∑n=0∞Yn(θ,λ)hV+k\frac{\partial V}{\partial n}=\sum_{n=0}^{\infty}{Y_n(\theta,\lambda)} hV+k∂n∂V​=n=0∑∞​Yn​(θ,λ)
直接给出结果：
Ve(r,θ,λ)=∑n=0∞(Rr)n+1Yn(θ,λ)h−(k/R)(n+1)V_e(r,\theta,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}{\left( \frac{R}{r}\right)^{n+1}\frac{Y_n(\theta,\lambda)}{h-(k/R)(n+1)}} Ve​(r,θ,λ)=n=0∑∞​(rR​)n+1h−(k/R)(n+1)Yn​(θ,λ)​

4.3 Stokes定理和Stokes问题

4.3.1 Stokes定理

若已知⼀个水准面形状S、S面上的位W0（或它内部所包含的物质的总质量M）及该物体绕某⼀固定轴的旋转⻆速度ω，则该水准面上及其外部空间任意点的重力位都可唯一确定，并且不需要知道物体内的质量分布情况。

4.3.2 Stokes问题

已知水准面上的重力 ggg 和重⼒位 WWW（或地球的总质量 MMM），以及地球的自转角速度 ω\omegaω，需求定水准面的形状 SSS 及其外部的重力位。

4.4 边值问题解的唯一性

外部第一格林公式：
∫ve[ueΔve+D(ue,ve)]dv=−∫σue∂ve∂ndσ{ \int\limits_{v_e}{\left[ u_e\Delta v_e+D\left( u_e,v_e \right) \right]}dv=-\int\limits_{\sigma}{u_e\frac{\partial v_e}{\partial n}d\sigma}} ve​∫​[ue​Δve​+D(ue​,ve​)]dv=−σ∫​ue​∂n∂ve​​dσ
假设解不是唯一的，则在 σ\sigmaσ 外有两个调和并在无穷远处正则的函数 V1V_1V1​ 和 V2V_2V2​ 同时满足 σ\sigmaσ 上的边界条件，记 T=V1−V2T=V_1-V_2T=V1​−V2​ ，则 TTT 也是在 σ\sigmaσ 外调和且在无穷远处正则的函数（ΔT≡0\Delta T\equiv 0ΔT≡0 ）。

将外部第一格林公式应用于 TTT，并在该式中令 u=v=Tu=v=Tu=v=T ，则有
∫ve[TΔT+D(T,T)]dv=−∫σT∂T∂ndσ\int\limits_{v_e}{\left[ T\Delta T+D\left( T,T \right) \right]}dv=-\int\limits_{\sigma}{T\frac{\partial T}{\partial n}d\sigma} ve​∫​[TΔT+D(T,T)]dv=−σ∫​T∂n∂T​dσ
根据条件，在 vev_eve​ 内 ΔT≡0\Delta T\equiv 0ΔT≡0，在 σ\sigmaσ 面上 Tσ=0T_{\sigma}^{}=0Tσ​=0，则上式为：
∫veD(T,T)dv=0⇒∫ve[(∂T∂x)2+(∂T∂y)2+(∂T∂z)2]dv=0\int\limits_{v_e}{D\left( T,T \right)}dv=0\Rightarrow \int\limits_{v_e}{\left[ \left( \frac{\partial T}{\partial x} \right) ^2+\left( \frac{\partial T}{\partial y} \right) ^2+\left( \frac{\partial T}{\partial z} \right) ^2 \right]}dv=0 ve​∫​D(T,T)dv=0⇒ve​∫​[(∂x∂T​)2+(∂y∂T​)2+(∂z∂T​)2]dv=0
要使上式成立，则必须在 σ\sigmaσ 外任意点上都满足
∂T∂x=∂T∂y=∂T∂z=0\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{\partial T}{\partial y}=\frac{\partial T}{\partial z}=0 ∂x∂T​=∂y∂T​=∂z∂T​=0
即 TTT 为常数。又因为 TTT 是在无穷远处的正则函数，则 TTT 只能等于零，亦即 V1=V2V_1=V_2V1​=V2​ ，证明解是唯一的。

5 地球重力场

5.1 重力和重力位

5.1.1 重力位的推导

第二章讨论了引力和引力位，而重力是引力和离心力的合力。因此先推导离心力和离心力位：

易得 向量 p=(x,y,0)p=(x,y,0)p=(x,y,0)，因此有离心力 fff 等于：
f=ω2p=(ω2x,ω2y,0)f=\omega^2p=(\omega^2x,\omega^2y,0) f=ω2p=(ω2x,ω2y,0)
离心力位应满足梯度等于离心力，直接给出离心力位的表达式：
Φ=12ω2(x2+y2)\varPhi=\frac{1}{2}\omega^2(x^2+y^2) Φ=21​ω2(x2+y2)
则重力位表达为：
W=V+Φ=G∭vρldv+12ω2(x2+y2)W=V+\varPhi=G\iiint\limits_v{\frac{\rho}{l}dv}+\frac{1}{2}\omega^2(x^2+y^2) W=V+Φ=Gv∭​lρ​dv+21​ω2(x2+y2)
还是老套路，求一下重力位的 LaplaceLaplaceLaplace 方程值：
ΔΦ=∂Φ∂x2+∂Φ∂y2+∂Φ∂z2=2ω2\Delta \varPhi=\frac{\partial \varPhi}{\partial x^2}+\frac{\partial \varPhi}{\partial y^2}+\frac{\partial \varPhi}{\partial z^2}=2\omega^2 ΔΦ=∂x2∂Φ​+∂y2∂Φ​+∂z2∂Φ​=2ω2
由 PossionPossionPossion 方程（这里考虑质体内部）
ΔV=−4πGρ\Delta V = -4\pi G\rho ΔV=−4πGρ
得到重力位的拉普拉斯方程值：
⇒ΔW=ΔV+ΔΦ=−4πGρ+2ω2\Rightarrow \Delta W =\Delta V+\Delta \varPhi=-4\pi G\rho + 2\omega^2 ⇒ΔW=ΔV+ΔΦ=−4πGρ+2ω2
该式称为广义 Poisson 公式。
比较明显的结论是：重力位在外部连续但不调和（因为离心力的存在）

5.1.2 重力的大小和方向

重力单位为伽 (gal)(gal)(gal)，在赤道上大小约为 978gal978 gal978gal，在两极大小约为983gal983gal983gal。之前更常用的单位是牛顿(N)(N)(N)，其中$$

重力的方向称为铅垂方向，和该点所在的重力等位面垂直，因此铅垂线呈现为不规则的曲线

5.1.3 水准面

水准面也就是重力等位面，在水准面上，重力大小处处相等，即 W(x,y,z)=W0W(x,y,z)=W_0W(x,y,z)=W0​。

大地水准面是特殊的水准面，它和全球无潮平均海水面密合，作为海拔的起算面。

虽然重力和等位面垂直似乎是个显而易见的结论，还是简单证明一下：

重力位的梯度，等于重力在该方向的分量，用微分式来表示：
dW=∂W∂xdx+∂W∂ydy+∂W∂zdz=(∂W∂x,∂W∂y,∂W∂z)⋅(dx,dy,dz)Tl=g⋅dx\begin{array}{c} dW = \frac{\partial W}{\partial x}dx+\frac{\partial W}{\partial y}dy+\frac{\partial W}{\partial z}dz \\ \\ =\left( \frac{\partial W}{\partial x}, \frac{\partial W}{\partial y}, \frac{\partial W}{\partial z} \right)\cdot\left(dx,dy,dz \right)^T \\ \\l =\bold{g} \cdot \rm{d}\bold{x} \end{array} dW=∂x∂W​dx+∂y∂W​dy+∂z∂W​dz=(∂x∂W​,∂y∂W​,∂z∂W​)⋅(dx,dy,dz)Tl=g⋅dx​
令 dxdxdx 和水准面相切，WWW为常数，则 dW=0⇒g=0dW=0\Rightarrow \bold{g}=0dW=0⇒g=0，说明重力在等位面的切线方向没有分量，因此重力方向垂直于等位面。

5.1.4 正高

从大地水准面起，沿铅垂线方向至某点的距离成为该点的正高。

从前面的经验来看，无论什么物理量，最终都归结到位函数上。正高也不例外。

沿铅垂线增高的方向取矢量 dxd\bold{x}dx，则有∣dx∣=dH\left| dx \right|=dH∣dx∣=dH，dHdHdH 和 重力 g\bold{g}g 方向相反。对重力位取微分，则有：
dW=g⋅dx=g⋅dH⋅cos⁡(g,dx)=−gdHdW = \bold{g}\cdot d\bold{x}=\bold{g}\cdot dH\cdot \cos(\bold{g},d\bold{x}) = -\bold{g}dH dW=g⋅dx=g⋅dH⋅cos(g,dx)=−gdH
或表示为：

{g=−∂W∂HdH=−dWg\left\{ \begin{array}{c} g=-\frac{\partial W}{\partial H}\\ \\ dH=-\frac{dW}{g}\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​g=−∂H∂W​dH=−gdW​​
这就建立了重力位和正高之间的数学联系。

从这个式子可以得出水准面的一些重要性质：

• 由于重力随纬度有变大的趋势，因此两个水准面之间的距离随纬度有缩小的趋势
• 同一水准面上重力位相等，但重力大小不相等，因此 两个水准面之间的dHdHdH 不为常数，也就是水准面之间不平行
• 因为重力 g\bold{g}g 大小不为0，因此 dHdHdH 不为0，即水准面之间不相交

5.1.5 水准面曲率

上一部分建立了位差和高差的数学关系，在几何概念和物理概念之间进行了转换。这一部分则介绍了Bruns公式的推导，它建立了垂直重力梯度和水准面平均曲率的关系。

首先对于曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，有曲率公式：
κ=1ρ=y′′(1+y′2)3/2\kappa =\frac{1}{\rho}=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}} κ=ρ1​=(1+y′2)3/2y′′​
当切线平行于xxx轴时，y′=0y'=0y′=0，则有：
κ=1ρ=y′′=d2ydx2\kappa =\frac{1}{\rho}=y''=\frac{d^2y}{dx^2} κ=ρ1​=y′′=dx2d2y​
为了求水准面的平均曲率，首先建立空间直角坐标系：

其中，原点为 PPP ，在大地水准面上，图中画出了 x−zx-zx−z 平面和水准面的交线和铅垂线，x−yx-yx−y 平面实际上就是水准面在 PPP 点的切面。

考虑此时 x−zx-zx−z 平面内的曲率，根据上面结论，就等于二阶导。将 W(x,y,z)=W0W(x,y,z)=W_0W(x,y,z)=W0​ 对 xxx 微分得：
Wx+Wzdzdx=0W_x+W_z\frac{dz}{dx}=0 Wx​+Wz​dxdz​=0
二次微分得（涉及复合函数求微分）：
Wxx+(Wxz+Wzzdzdx)dzdx+Wzd2zdx2=0W_{xx}+(W_{xz}+W_{zz}\frac{dz}{dx})\frac{dz}{dx}+W_z\frac{d^2z}{dx^2}=0 Wxx​+(Wxz​+Wzz​dxdz​)dxdz​+Wz​dx2d2z​=0
因为在P点有 dzdx=0\frac{dz}{dx}=0dxdz​=0，代入二次微分式得：
d2zdx2=WxxWz=K1\frac{d^2z}{dx^2}=\frac{W_{xx}}{W_z}=K_1 dx2d2z​=Wz​Wxx​​=K1​
由于 zzz 轴在 PPP 点垂直于水准面，Wz=∂W∂z=∂W∂H=−gW_z=\frac{\partial W}{\partial z}=\frac{\partial W}{\partial H}=-gWz​=∂z∂W​=∂H∂W​=−g，得到交线的曲率为：
K1=−WxxgK_1=-\frac{W_{xx}}{g} K1​=−gWxx​​
同理，水准面和 y−zy-zy−z平面的交线的曲率为
K2=−WyygK_2=-\frac{W_{yy}}{g} K2​=−gWyy​​
定义水准面上 PPP 点的曲率为两条交线的曲率平均数，则有
J=12(K1+K2)=−Wxx+Wyy2g(1)J=\frac{1}{2}(K_1+K_2)=-\frac{W_{xx}+W_{yy}}{2g}\tag{1} J=21​(K1​+K2​)=−2gWxx​+Wyy​​(1)
根据前面推导的广义 PoissionPoissionPoission 公式
ΔW=Wxx+Wyy+Wzz=−4πGρ+2ω2(2)\Delta W =W_{xx}+W_{yy}+W_{zz}=-4\pi G\rho + 2\omega^2\tag{2} ΔW=Wxx​+Wyy​+Wzz​=−4πGρ+2ω2(2)
其中考虑到：
Wzz=∂Wz∂z=−∂g∂z=−∂g∂H(3)W_{zz}=\frac{\partial W_z}{\partial z}=-\frac{\partial g}{\partial z}=-\frac{\partial g}{\partial H}\tag{3} Wzz​=∂z∂Wz​​=−∂z∂g​=−∂H∂g​(3)
联立(1)(2)(3)三式，可以表示出重力梯度公式：
∂g∂H=−2gJ+4πGρ−2ω2\frac{\partial g}{\partial H}=-2gJ+4\pi G\rho - 2\omega^2 ∂H∂g​=−2gJ+4πGρ−2ω2
上式建立了垂直重力梯度和水准面平均曲率之间的联系。

5.2 引力位的球谐展开

5.2.1 引力位的球谐展开式

回忆一下母函数：
1l=∑n=0∞r′nrn+1Pn(cos⁡ψ)\frac{1}{l}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{r'^n}{r^{n+1}}P_n(\cos\psi)} l1​=n=0∑∞​rn+1r′n​Pn​(cosψ)
根据分解公式：
Pn(cos⁡ψ)=Pn(cos⁡θ)Pn(cos⁡θ′)+2∑m=1n(n−m)!(n+m)![Rnm(θ,λ)Rnm(θ′,λ′)+Snm(θ,λ)Snm(θ′,λ′)]P_{n}\left( \cos \psi \right) =P_{n}\left( \cos \theta \right) P_{n}\left( \cos \theta ' \right) +2\sum_{m=1}^n{\frac{\left( n-m \right) !}{\left( n+m \right) !}\left[ R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) R_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) +S_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) S_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) \right]} Pn​(cosψ)=Pn​(cosθ)Pn​(cosθ′)+2m=1∑n​(n+m)!(n−m)!​[Rnm​(θ,λ)Rnm​(θ′,λ′)+Snm​(θ,λ)Snm​(θ′,λ′)]
联立得：
1l=∑n=0∞r′nrn+1{Pn(cos⁡θ)Pn(cos⁡θ′)+2∑m=1n(n−m)!(n+m)![Rnm(θ,λ)Rnm(θ′,λ′)+Snm(θ,λ)Snm(θ′,λ′)]}\frac{1}{l}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{r'^n}{r^{n+1}}\left\{ P_{n}\left( \cos \theta \right) P_{n}\left( \cos \theta ' \right) +2\sum_{m=1}^n{\frac{\left( n-m \right) !}{\left( n+m \right) !}\left[ R_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) R_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) +S_{nm}\left( \theta ,\lambda \right) S_{nm}\left( \theta ',\lambda ' \right) \right]}\right\} } l1​=n=0∑∞​rn+1r′n​{Pn​(cosθ)Pn​(cosθ′)+2m=1∑n​(n+m)!(n−m)!​[Rnm​(θ,λ)Rnm​(θ′,λ′)+Snm​(θ,λ)Snm​(θ′,λ′)]}
将第n阶引力位用勒让德函数来表示：
Vn=1rn+1[AnPn(cos⁡θ)+∑m=1n(Anmcos⁡mλ+Bnmsin⁡mλ)Pnm(cos⁡θ)]或者：Vn=1rn+1∑m=0n[anmPnm(cos⁡θ)cos⁡mλ+bnmPnm(cos⁡θ)sin⁡mλ]\begin{array}{c} V_n = \frac{1}{r^{n+1}}\left[ A_nP_n(\cos\theta)+\sum\limits_{m=1}^{n}{(A_{nm}\cos{m\lambda}+B_{nm}\sin{m\lambda})P_{nm}(\cos\theta) } \right] \\ \\ \text{或者：}V_n ={\frac{1}{r^{n+1}}\sum\limits_{m=0}^n{\left[ a_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \cos m\lambda +b_{nm}P_{nm}\left( \cos \theta \right) \sin m\lambda \right]}} \end{array} Vn​=rn+11​[An​Pn​(cosθ)+m=1∑n​(Anm​cosmλ+Bnm​sinmλ)Pnm​(cosθ)]或者：Vn​=rn+11​m=0∑n​[anm​Pnm​(cosθ)cosmλ+bnm​Pnm​(cosθ)sinmλ]​
两种表达方式没有区别，因为 m=0m=0m=0 时 sin⁡mλ\sin m\lambdasinmλ 为0，也就不存在对应的系数 BnB_nBn​

对于式中的几个参数，有几个基本的概念：

• Pn(cos⁡θ)P_n(\cos\theta)Pn​(cosθ)：主球谐函数，或带球谐函数，即勒让德多项式
• Pnm(cos⁡θ)P_{nm}(\cos\theta)Pnm​(cosθ)：缔和勒让德函数
• Pnm(cos⁡θ)cos⁡mλP_{nm}(\cos\theta)\cos{m\lambda}Pnm​(cosθ)cosmλ 和 Pnm(cos⁡θ)sin⁡mλP_{nm}(\cos\theta)\sin{m\lambda}Pnm​(cosθ)sinmλ：缔和球谐函数，或面球谐函数
• An,Anm,BnmA_n, A_{nm},B_{nm}An​,Anm​,Bnm​：Stokes系数

这里给出Stokes系数的计算公式（可利用面谐函数正交性求解）：
An0=G∭earthr′nPn(cos⁡θ)dM=G∭earthz′dMAnm=2(n−m)!(n+m)!G∭earthr′nRnm(θ′,λ′)dM=G∭earthz′dMBnm=2(n−m)!(n+m)!G∭earthr′nSnm(θ′,λ′)dM=G∭earthz′dM\begin{array}{c} A_{n0}=G\iiint_{earth}{r'^nP_n(\cos\theta)dM}=G\iiint_{earth}{z'dM} \\ \\ A_{nm}=2\frac{(n-m)!}{(n+m)!}G\iiint_{earth}{r'^nR_{nm}(\theta ',\lambda ')dM}=G\iiint_{earth}{z'dM} \\ \\ B_{nm}=2\frac{(n-m)!}{(n+m)!}G\iiint_{earth}{r'^nS_{nm}(\theta ',\lambda ')dM}=G\iiint_{earth}{z'dM} \end{array} An0​=G∭earth​r′nPn​(cosθ)dM=G∭earth​z′dMAnm​=2(n+m)!(n−m)!​G∭earth​r′nRnm​(θ′,λ′)dM=G∭earth​z′dMBnm​=2(n+m)!(n−m)!​G∭earth​r′nSnm​(θ′,λ′)dM=G∭earth​z′dM​

5.2.2 矩

矩是物理中的概念，这里引入是为了表达引力位展开式低阶项的物理意义。

定义：质体的质量与（到某点、某轴或某平面）距离d的k次方的乘积的物理量统称为矩。

将质体的k阶矩表示为：
∭vdkdm\iiint\limits_{v}{d^kdm} v∭​dkdm
值得注意的是，这里的距离d可以是到点或线或面

而低阶矩本身就具有一些性质：

• 零阶矩
  ∭vd0dm=∭vdm=M\iiint\limits_{v}{d^0dm}=\iiint\limits_{v}{dm}=M v∭​d0dm=v∭​dm=M
• 到坐标平面的一阶矩
  ∭vx1dm=∭vx⋅dm=xcM其中xc表示质体质心的横坐标，对于y,z同理\begin{array}{c} \iiint\limits_{v}{x^1dm}=\iiint\limits_{v}{x·dm}=x_cM \\ \\ \text{其中}x_c表示质体质心的横坐标，对于y,z同理 \end{array} v∭​x1dm=v∭​x⋅dm=xc​M其中xc​表示质体质心的横坐标，对于y,z同理​
  二阶矩则和转动惯量等有关，这里不再赘述。重点在于引力位低阶项的物理含义。

5.2.3 引力位低阶项物理含义

• 零阶项：取 n=0n=0n=0，得
  V0=A0r=1rG∭earthr′0P0(cos⁡θ′)dM=GMrV_0=\frac{A_0}{r}=\frac{1}{r}G\iiint_{earth}{r'^0P_0\left( \cos \theta ' \right) dM}=\frac{GM}{r} V0​=rA0​​=r1​G∭earth​r′0P0​(cosθ′)dM=rGM​
  这表示了将地球质量全部集中在地球质心上所产生的引力位，因此零阶项与地球质量有关

• 一阶项：取 n=1n=1n=1，得
  V1=1r2[A1P1(cos⁡θ)+A11R11+B11S11]=1r2[A1cos⁡θ+A11sin⁡θcos⁡λ+B11sin⁡θsin⁡λ]V_1=\frac{1}{r^2}\left[ A_1P_1\left( \cos \theta \right) +A_{11}R_{11}+B_{11}S_{11} \right] =\frac{1}{r^2}\left[ A_1\cos \theta +A_{11}\sin \theta \cos \lambda +B_{11}\sin \theta \sin \lambda \right] V1​=r21​[A1​P1​(cosθ)+A11​R11​+B11​S11​]=r21​[A1​cosθ+A11​sinθcosλ+B11​sinθsinλ]
  其中
  A1=G∭earthr′1P1(cos⁡θ′)dM=G∭earthz′dMA11=G∭earthr′1R11(cos⁡θ′)dM=G∭earthx′dMB11=G∭earthr′1S11(cos⁡θ′)dM=G∭earthy′dM\begin{array}{c} A_1=G\iiint_{earth}{r'^1P_1\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{z'dM} \\ \\ A_{11}=G\iiint_{earth}{r'^1R_{11}\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{x'dM} \\ \\ B_{11}=G\iiint_{earth}{r'^1S_{11}\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{y'dM} \end{array} A1​=G∭earth​r′1P1​(cosθ′)dM=G∭earth​z′dMA11​=G∭earth​r′1R11​(cosθ′)dM=G∭earth​x′dMB11​=G∭earth​r′1S11​(cosθ′)dM=G∭earth​y′dM​
  容易看到，一阶项和地球质心坐标有关。因此，若将坐标原点选在重心，则三个系数全为零，即一阶项为0

• 二阶项：取 n=2n=2n=2，得
  V2=1r3[A2P2(cos⁡θ)+A21R21(cos⁡θ)+B21S21(cos⁡θ)+A22R22(cos⁡θ)+B22S22(cos⁡θ)]V_2=\frac{1}{r^3}\left[ A_2P_2\left( \cos \theta \right) +A_{21}R_{21}\left( \cos \theta \right) +B_{21}S_{21}\left( \cos \theta \right) +A_{22}R_{22}\left( \cos \theta \right) +B_{22}S_{22}\left( \cos \theta \right) \right] V2​=r31​[A2​P2​(cosθ)+A21​R21​(cosθ)+B21​S21​(cosθ)+A22​R22​(cosθ)+B22​S22​(cosθ)]
  二阶项系数为：
  A2=G∭earthr′2P1(cos⁡θ′)dM=G∭earth(−x′2−y′2+2z′2)dMA21=13G∭earthr′2R21(cos⁡θ′)dM=G∭earthx′z′dMB21=13G∭earthr′2S21(cos⁡θ′)dM=G∭earthy′z′dMA22=112G∭earthr′2R22(cos⁡θ′)dM=G∭earth(x′2−y′2)dMB22=112G∭earthr′2S21(cos⁡θ′)dM=G∭earthx′y′dM\begin{array}{c} A_2=G\iiint_{earth}{r'^2P_1\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{(-x'^2-y'^2+2z'^2)dM} \\ \\ A_{21}=\frac{1}{3}G\iiint_{earth}{r'^2R_{21}\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{x'z'dM} \\ \\ B_{21}=\frac{1}{3}G\iiint_{earth}{r'^2S_{21}\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{y'z'dM} \\ \\ A_{22}=\frac{1}{12}G\iiint_{earth}{r'^2R_{22}\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{(x'^2-y'^2)dM} \\ \\ B_{22}=\frac{1}{12}G\iiint_{earth}{r'^2S_{21}\left( \cos \theta ' \right) dM}=G\iiint_{earth}{x'y'dM} \end{array} A2​=G∭earth​r′2P1​(cosθ′)dM=G∭earth​(−x′2−y′2+2z′2)dMA21​=31​G∭earth​r′2R21​(cosθ′)dM=G∭earth​x′z′dMB21​=31​G∭earth​r′2S21​(cosθ′)dM=G∭earth​y′z′dMA22​=121​G∭earth​r′2R22​(cosθ′)dM=G∭earth​(x′2−y′2)dMB22​=121​G∭earth​r′2S21​(cosθ′)dM=G∭earth​x′y′dM​
  其中xy，xz，yz形式的积分，是一种二阶矩惯性积。当坐标轴和主惯性轴重合，它们就为零。

但对于地球而言，需要比较多的条件才能使得它们全为零。一般来说，在地球坐标系下，所有的一阶谐函数和二阶一次谐函数在展开式中都默认为零，也被称为禁止的或不容许的谐函数。

5.3 正常重力

这一块内容相对轻松，主要以概念为主。

5.3.1 引入正常重力场的意义

引⼊⼀个近似的地球重⼒位，它函数关系简单，⾮常接近真实的地球重⼒位，称为正常重⼒位，记为 UUU。这样就将地球重力场的求解归结为扰动场或异常重力场（微小量）的求解，保证了其解的存在性，并方便求解。

5.3.2 确定正常重力位的方法

• Laplace方法
  • 将地球重力位 WWW 展开为球谐级数
  • 保留前面最大的几项作为正常重力
  • 选取一个正常重力位水准面，假设它是产生正常重力位的质体的表面，则正常重力场就理解为该质体产生的重力场
• Stokes方法
  • 选择一个形状大小已知的质体（一般为旋转椭球体）
  • 根据质体的总质量和旋转角速度，解其形成的外部重力位
  • 以此重力位为正常重力位

5.3.3 正常椭球

• 基本要求
  • 质量和角速度等于地球总质量和旋转角速度，旋转轴和地球自转轴重合
  • 椭球表面为水准面 W=W0W=W_0W=W0​，且外部没有物质存在
  • 椭球中心与地球质心重合
• 基本参数（任选四个可以确定正常重力场）
  • U0U_0U0​：椭球表面上的正常重力位
  • A0=GMA_0=GMA0​=GM
  • A2=G(A−C)A_2=G(A-C)A2​=G(A−C)
  • ω\omegaω：自转角速度
  • f=a−baf=\frac{a-b}{a}f=aa−b​：椭球扁率
  • f∗=γb−γaγaf^*=\frac{\gamma_b-\gamma_a}{\gamma_a}f∗=γa​γb​−γa​​：正常重力扁率
  • γa\gamma_aγa​：赤道上正常重力

5.4 扰动重力

5.4.1 定义

真实重力位和正常重力位之差，表示为 TTT
W(x,y,z)=U(x,y,z)+T(x,y,z)W(x,y,z)=U(x,y,z)+T(x,y,z) W(x,y,z)=U(x,y,z)+T(x,y,z)

5.4.2 大地水准面高

将大地水准面上一点 PPP 沿参考椭球面的法线 n′n'n′ 投影到椭球面（正常重力）上的 QQQ 点，距离 PQPQPQ 就称为大地水准面高，用 NNN 表示，如图所示：

5.4.3 重力异常

PPP 点的重力矢量 gP\bold{g}_PgP​和 QQQ 点的正常重力矢量 γQ\gamma_QγQ​ 之差称为重力异常矢量

两者的大小（模）的差称为重力异常

5.4.4 垂线偏差

观测点处垂线与椭球面法线的夹角称为垂线偏差

计算公式：
{ξ=Φ−φη=(Λ−λ)cos⁡φ\left\{ \begin{array}{c} \xi =\varPhi -\varphi\\ \eta =\left( \varLambda -\lambda \right) \cos \varphi\\ \end{array} \right. {ξ=Φ−φη=(Λ−λ)cosφ​

5.4.5 重力扰动

重力扰动和重力异常不同之处在于：重力扰动在同一点上比较。定义为：

在大地水准面上同一点 PPP 比较重力矢量 gP\bold{g}_PgP​ 和正常重力矢量 γP\gamma_PγP​，得到重力扰动矢量

两者大小之差为重力扰动

重力扰动矢量的方向和垂线偏差一样

5.5 Bruns公式

Bruns公式表示为：
N=TγN=\frac{T}{\gamma} N=γT​

5.5.1 推导

还是这张图。由正常重力的定义，对于 PPP 点有：
WP=UP+TPW_P=U_P+T_P WP​=UP​+TP​
而 PQPQPQ 的正常重力位之差可以表示为正常重力在 NNN 上做的功。因此有关系式：
UP=UQ+(∂U∂n)QN=UQ−γNU_P=U_Q+\left( \frac{\partial U}{\partial n}\right)_QN=U_Q-\gamma N UP​=UQ​+(∂n∂U​)Q​N=UQ​−γN
又根据水准面定义：
WP=UQ=W0W_P=U_Q=W_0 WP​=UQ​=W0​
将三式联立得到Bruns公式：
N=UQ−UPγ=WP−UPγ=TγN=\frac{U_Q-U_P}{\gamma}=\frac{W_P-U_P}{\gamma}=\frac{T}{\gamma} N=γUQ​−UP​​=γWP​−UP​​=γT​

5.6 物理大地测量学基本方程式

对于 PPP 点，其扰动重力定义为：
δg=gP−γP(1)\delta g = g_P-\gamma_P\tag{1} δg=gP​−γP​(1)
和Bruns公式推导一样，其正常重力可以表示为：
γP=γQ+∂γ∂hN(2)\gamma_P=\gamma_Q+\frac{\partial \gamma}{\partial h}N\tag{2} γP​=γQ​+∂h∂γ​N(2)
联立(1)(2)得：
δg=gP−γQ−∂γ∂hN(3)\delta g = g_P-\gamma_Q-\frac{\partial \gamma}{\partial h}N\tag{3} δg=gP​−γQ​−∂h∂γ​N(3)
又有重力异常的定义为：
Δg=gP−γQ(4)\Delta g = g_P-\gamma_Q\tag{4} Δg=gP​−γQ​(4)
代入(3)式得：
δg=Δg−∂γ∂hN(5)\delta g=\Delta g-\frac{\partial \gamma}{\partial h}N\tag{5} δg=Δg−∂h∂γ​N(5)
根据Bruns公式 N=TγN=\frac{T}{\gamma}N=γT​，将式子中的 NNN 替换，得到
δg=Δg−∂γ∂hTγ(6)\delta g=\Delta g-\frac{\partial \gamma}{\partial h}\frac{T}{\gamma}\tag{6} δg=Δg−∂h∂γ​γT​(6)
将重力扰动表示为扰动位的梯度，并近似处理：
δg=−∂T∂n≈−∂T∂h(7)\delta g=-\frac{\partial T}{\partial n}\approx -\frac{\partial T}{\partial h}\tag{7} δg=−∂n∂T​≈−∂h∂T​(7)
代入(6)式得到物理大地测量学基本方程式：
−∂T∂h=Δg−∂γ∂hTγ(6)-\frac{\partial T}{\partial h}=\Delta g-\frac{\partial \gamma}{\partial h}\frac{T}{\gamma}\tag{6} −∂h∂T​=Δg−∂h∂γ​γT​(6)
该式建立了扰动位、正常重力和重力异常之间的关联。

5.7 Possion积分（内涵）

Possion积分公式说明了空间点上谐函数的值可以由边界面上的值来确定，因此是一个将谐函数由边界向上延拓的方法

5.8 改进的Poisson积分（内涵）

改进的Poisson积分公式去掉了零阶项和一阶项，使得计算更加简便。

对于重力异常来说，重力异常并不是一个谐函数，需要乘以r构造成谐函数 rΔgr \Delta grΔg
将此谐函数展开后，应用改进的Poisson积分，即可由地面重力异常求出地球外部重力异常

5.9 Stokes公式

N=R4πγ0∬σΔgS(ψ)dσN=\frac{R}{4\pi \gamma_0}\iint\limits_{\sigma}{\Delta gS(\psi)d\sigma} N=4πγ0​R​σ∬​ΔgS(ψ)dσ
Stokes公式是目前为止物理大地测量最重要的公式，它可以根据重力异常来确定大地水准面。

6 重力归算

尽管Stokes公式似乎把问题变得很简单，但想要确定重力异常，需要的是大地水准面上的重力值。现实情况下，我们只能得到地表的重力值。另外，Stokes公式中大地水准面外必须无质量，而事实上并非如此。

重力归算的任务就是将大地水准面外部的质量去掉（或移到大地水准面以内），再将重力点从地面归算到大地水准面。

6.1 空间改正

6.1.1 定义

空间改正，就是将海拔高程为 HHH 的重力点的重力观测值 ggg，归算到大地水准面的重力观测值 g0g_0g0​，归算时不考虑地面和大地水准面间的质量影响，只考虑高度对重力的改正

6.1.2 推导

空间改正中的不考虑地面和大地水准面间的质量影响，指的是将所有质量压入到大地水准面内。

对于地面上 PPP 点的引力：
g=GM(R+H)2(1)g=G\frac{M}{(R+H)^2}\tag{1} g=G(R+H)2M​(1)
对于大地水准面上对应的 P0P_0P0​点：
g0=GMR2(2)g_0=G\frac{M}{R^2}\tag{2} g0​=GR2M​(2)
注意一下符号问题：地面上观测值＋改正值=大地水准面上值。因此改正值为：
Δ1g=g0−g=GMR2−GM(R+H)2=GM[1R2−1(R+H)2]=GMR2[1−1(1+HR)2](3)\Delta_1 g=g_0-g=G\frac{M}{R^2}-G\frac{M}{(R+H)^2}=GM\left[\frac{1}{R^2}-\frac{1}{(R+H)^2} \right]=\frac{GM}{R^2}\left[1-\frac{1}{(1+\frac{H}{R})^2} \right]\tag{3} Δ1​g=g0​−g=GR2M​−G(R+H)2M​=GM[R21​−(R+H)21​]=R2GM​[1−(1+RH​)21​](3)
可以看到式子中能够提出GMR2\frac{GM}{R^2}R2GM​，记作 γ\gammaγ，并将 1(1+HR)2\frac{1}{(1+\frac{H}{R})^2}(1+RH​)21​ 级数展开得：
Δ1g=γ[1−(1−2HR+3H2R2)]=2γRH−3γR2H2=0.3086H−0.72×10−7H2(mGal)(4)\Delta_1 g=\gamma\left[1-\left( 1-\frac{2H}{R}+\frac{3H^2}{R^2} \right) \right]=2\frac{\gamma}{R}H-3\frac{\gamma}{R^2}H^2=0.3086H-0.72\times 10^{-7}H^2(mGal)\tag{4} Δ1​g=γ[1−(1−R2H​+R23H2​)]=2Rγ​H−3R2γ​H2=0.3086H−0.72×10−7H2(mGal)(4)
另一种方法推导更为简单：
根据泰勒级数展开，并保留线性部分得：
g0=g−∂g∂HHg_0=g-\frac{\partial g}{\partial H}H g0​=g−∂H∂g​H
根据近似关系：
−∂g∂H≈−∂γ∂h=+0.3086H(mGal)-\frac{\partial g}{\partial H}\approx-\frac{\partial \gamma}{\partial h}=+0.3086H(mGal) −∂H∂g​≈−∂h∂γ​=+0.3086H(mGal)
即完成了推导。

6.1.3 空间重力异常

将空间重力异常记作：
Δg空=g+Δ1g−γ\Delta g_{\text{空}}=g+\Delta_1g- \gamma Δg空​=g+Δ1​g−γ

6.2 层间改正

6.2.1 定义

层间改正又称中间层改正。设地球表面和大地水准面均为平面。那么两平面之间的质量对两个面上点的重力存在着影响、去掉这部分质量引起的重力改正称为层间改正

6.2.2 推导

这里的过程不过多展开，实际上就是求圆柱体对轴线上点的引力。需要注意的是，圆柱体的半径a在这里趋近于无穷大，从而接近地球表面。

布格片引力表示为：
AB=2πGρHA_B=2\pi G\rho H AB​=2πGρH
代入标准密度 ρ=2.67g/cm3\rho=2.67g/cm^3ρ=2.67g/cm3 时，得：
AB=0.1119H(mGal)A_B=0.1119 H(mGal) AB​=0.1119H(mGal)

6.2.3 符号

在层间改正中，去掉了布格片质量影响，使得重力值减小，因此改正值为负。得到层间改正表达式为：
Δ2g=−0.1119H(mGal)\Delta_2g=-0.1119 H(mGal) Δ2​g=−0.1119H(mGal)

6.3 地形改正

6.3.1 定义

在层间改正的基础上，考虑地形不是平面的情况，需要将 III 区的质量补充进 IIIIII 区，以补偿被多余去掉的质量。

将局部地形改正定义为：计算点周围地形起伏的质量对计算点重力值的影响，记作 Δ3g\Delta_3gΔ3​g

6.3.2 符号

在局部地形改正中，仅考虑局部地形的影响。在挖空的 IIIIII 区补进质量，会使得重力值变大；在多余的 III 区挖去质量，同样会使得重力值变大。因此符号为正。

6.4 各种改正的定义

• 简单布格改正：空间改正+层间改正
• 布格改正：空间改正+层间改正+局部地形改正
• 法耶改正：空间改正+局部地形改正

对应的有布格重力异常、简单布格重力异常、法耶重力异常，不再赘述，通用的公式是重力+对应改正-正常重力。

6.5 地形均衡理论

在前面的改正中，都假设了地球的密度均匀，导致布格异常在地形起伏的地方存在系统的误差。因此针对地形对密度的影响，提出了普拉特均衡模型和艾里均衡模型。

6.5.1 普拉特均衡模型

6.5.1.1 主要思想

认为在地下某深度有一个补偿面（海水面和补偿面距离几乎处处相等），在补偿面之上，将地壳分割成截面相同的柱体，超出海平面的山区柱体密度小，低于海平面的海底柱体密度大，但柱体质量相等。

6.5.1.2 密度计算

设海平面到补偿面距离为 DDD，山体柱体高出海平面的高度记为 HHH，海底柱体低于海平面的高度记为 H′H'H′。当 H=0H=0H=0时柱体密度记为 ρ0=2.67g/cm3\rho_0=2.67 g/cm^3ρ0​=2.67g/cm3（也就是标准密度的值）

对于陆地：
(D+H)ρ=Dρ0(D+H)\rho=D\rho_0 (D+H)ρ=Dρ0​
对于海洋（额外考虑海水密度 ρw\rho_wρw​）：
(D−H′)ρ+H′ρw=Dρ0(D-H')\rho+H'\rho_w=D\rho_0 (D−H′)ρ+H′ρw​=Dρ0​

PPT上还介绍了一种将海平面以上和以下的密度区分开的模型（如下图），但书上没有，这里就不写了。

6.5.2 艾里均衡模型

6.5.2.1 主要思想

艾里均衡模型认为地壳由厚度不同的轻的岩石组成，各个柱体漂浮在密度较大的岩浆之上。
每个柱体的密度相同，并且露出岩浆和陷入岩浆的部分是相对应的。凸起部分越高，陷入部分也越深

6.5.2.2 密度计算

假定山体的密度为 ρ0=2.67g/cm3\rho_0=2.67 g/cm^3ρ0​=2.67g/cm3，下层岩浆密度为 ρ1=3.27g/cm3\rho_1=3.27 g/cm^3ρ1​=3.27g/cm3

对于山体，其陷入岩浆部分长度为 ttt，则根据浮力平衡原理：
tρ1=Hρ0+tρ0⇒tΔρ=Hρ0t\rho_1=H\rho_0+t\rho_0 \Rightarrow t\Delta\rho=H\rho_0 tρ1​=Hρ0​+tρ0​⇒tΔρ=Hρ0​
因此得到 ttt 的值为：
t=Hρ0Δρ=4.45Ht=\frac{H\rho_0}{\Delta\rho}=4.45H t=ΔρHρ0​​=4.45H
对于海洋，则有
t′Δρ=H′(ρ0−ρw)⇒t′=ρ0−ρwρ1−ρ0H′=2.73H′t'\Delta\rho=H'(\rho_0-\rho_w) \Rightarrow t'=\frac{\rho_0-\rho_w}{\rho_1-\rho_0}H'=2.73H' t′Δρ=H′(ρ0​−ρw​)⇒t′=ρ1​−ρ0​ρ0​−ρw​​H′=2.73H′

6.5.3 均衡改正

6.5.3.1 定义

依据某种均衡模型（可以是普拉特也可以是艾里-海斯卡涅）调整地壳，最后结果是一个想象的密度为 ρ0\rho_0ρ0​ 的均匀地壳，它并不像布格改正一样完全去掉地形质量，而是将这些质量移到大地水准面内部，从而弥补山下的质量亏损，使得密度均衡。

均衡改正包括三个步骤：

1. 移去地形部分
2. 移去补偿部分
3. 加上空间改正，归化到大地水准面上

6.5.3.2 均衡重力异常

均衡重力异常=重力值+空间改正+层间改正+局部地形改正+均衡改正-正常重力

6.6 重力归算总结

6.6.1 重力归算的目的

• 求定大地水准面
• 内插和外推重力值
• 研究地壳

6.6.2 重力归算的基本要求

• 大地水准面的外部没有质量
• 不改变地球质心的位置，即满足椭球体和大地水准面质心重合的条件
• 地球的总质量不变
• 不改变大地水准面的形状

6.6.3 重力归算的步骤

• 移去地形质量部分（层间改正、地形改正）
• 移去补偿质量部分（均衡改正）
• 加空间改正归化到大地水准面上（空间改正）

物理大地测量学笔记（二）相关推荐

1. 物理大地测量学笔记（一）

   文章目录 0 前言 1 引力和引力位 1.1 引力 1.2 引力位 1.2.1 引力位定义 1.2.2 利用引力位计算做功 1.2.3 利用引力位计算位能 1.3 层.面.质体的引力及其位 1.3.2 ...

2. 【Visual C++】游戏开发笔记二十一 游戏基础物理建模(三) 摩擦力系统模拟

   本系列文章由zhmxy555(毛星云)编写,转载请注明出处. http://blog.csdn.net/zhmxy555/article/details/7555785 作者:毛星云    邮箱: h ...

3. 【Visual C++】游戏开发笔记二十三 游戏基础物理建模 五 粒子系统模拟 二

   分享一下我老师大神的人工智能教程!零基础,通俗易懂!http://blog.csdn.net/jiangjunshow 也欢迎大家转载本篇文章.分享知识,造福人民,实现我们中华民族伟大复兴! 本系列文 ...

4. 【Visual C++】游戏开发笔记二十三 游戏基础物理建模(五) 粒子系统模拟(二)

   本系列文章由zhmxy555(毛星云)编写,转载请注明出处. http://blog.csdn.net/zhmxy555/article/details/7607916 作者:毛星云    邮箱: h ...

5. 【Visual C++】游戏开发笔记二十一 游戏基础物理建模 三 摩擦力系统模拟

   分享一下我老师大神的人工智能教程!零基础,通俗易懂!http://blog.csdn.net/jiangjunshow 也欢迎大家转载本篇文章.分享知识,造福人民,实现我们中华民族伟大复兴! 本系列文 ...

6. 大学物理第十二章复习笔记：气体动理论

   第十二章:气体动理论 大学物理 第十二章:气体动理论 一级目录 二级目录 三级目录 一.分子运动的基本概念 1.气体的状态参量 (1)压强P (2)体积V (3)温度T 2.平衡态和平衡过程 (1)平 ...

7. oracle直查和call哪个更快,让oracle跑的更快1读书笔记二

   当前位置:我的异常网» 数据库 » <>读书笔记二 <>读书笔记二 www.myexceptions.net  网友分享于:2013-08-23  浏览:9次 <> ...

8. 趣谈网络协议笔记-二（第六讲）

   趣谈网络协议笔记-二(第六讲) 交换机记忆的到底是端口,还是方向,如果是方向那么何来方向,下图中的感觉更像是网桥? 局域网中的数据是不是必定先经过交换机(网桥,hub)? 为什么广播时mac地址为25 ...

9. 嵌入式Linux驱动笔记(二十四)------framebuffer之使用spi-tft屏幕（上）

   你好!这里是风筝的博客, 欢迎和我一起交流. 最近入手了一块spi接口的tft彩屏,想着在我的h3板子上使用framebuffer驱动起来. 我们知道: Linux抽象出FrameBuffer这个设备 ...

最新文章

1. Oracle中的MERGE语句
2. 中国核酸数据库GSA数据提交指南
3. DDR的前世与今生（一）
4. Python自然语言处理工具
5. Linux内核模块开发 Slab高速缓存接口与用例
6. C语言左移位符号 ＜＜ 结合 |= 实现置位操作
7. 《刺杀小说家》读后感
8. 弱引用什么时候被回收_ThreadLocal的内存泄露？什么原因？如何避免？
9. SAP Spartacus里的product carousel控件
10. AT1350 深さ優先探索（洛谷 深度优先搜索+记忆化）
11. cdh搭建hadoop集群_Hadoop宿醉：使用Apache Whirr启动hadoop集群CDH4
12. 通过zabbix数据库批量查询服务器最新磁盘剩余空间
13. oracle12c如何存档图片,Oracle Database 12c实用教程
14. 动态排名系统（整体二分）
15. 在windows下配置PostgreSQL
16. 二分查找法（Java实现）
17. 水稻细菌性条斑病的分割与严重程度估计方法
18. C#读取匿名对象的属性值的方法总结
19. 女朋友也能看懂的Zookeeper分布式锁原理
20. java ognl表达式_OGNL表达式

热门文章

1. HDU -4287 Intelligent IME 字典树数组模拟
2. 【 | 管道符号 】
3. 电脑就是我的安全感｜ONES 人物
4. 吴家山第一小学计算机大赛,武汉市吴家山第一小学
5. 2023年学历提升题库精选套卷及答案
6. 两步搞定ubuntu18.04安装QQ，并实现屏幕共享，亲测
7. 11岁女孩自学建模、3D打印，实现“盲盒自由”！！！
8. 蓝叠安卓模拟器服务器未响应,蓝叠安卓模拟器常见问题汇总_蓝叠安卓模拟器常见问题解决方法_3DM手游...
9. 技术分享 | 漫谈音视频中的拥塞控制
10. win10 1903 回收站属性无法操作问题