本福特定律和齐夫定律是一回事吗

关于本福特定律的简单解释和推导，参见：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/440462854

思考本福特定律，与齐夫定律对照，它们之间似乎可以相互推导，是真的吗？

本福特定律说首数为nnn的概率：P(n)=log⁡10n+1n=log⁡10(n+1)−log⁡10nP(n)=\log_{10}\dfrac{n+1}{n}=\log_{10}(n+1)-\log_{10}nP(n)=log10nn+1=log10(n+1)−log10n

写成连续的形式：P(x)=log⁡10(x+1)−log⁡10xP(x)=\log_{10}(x+1)-\log_{10}xP(x)=log10(x+1)−log10x

从这个形式上看，它是一个定积分∫xx+1log⁡10endn\displaystyle\int_x^{x+1}\dfrac{\log_{10}e}{n}dn∫xx+1nlog10edn 。设不定积分式为F(x)F(x)F(x)，则：

F(x)=∫log⁡10exdxF(x)=\displaystyle\int\dfrac{\log_{10}e}{x}dxF(x)=∫xlog10edx

积分F(x)F(x)F(x)实际上就是所有首数字概率的积累分布函数，其概率密度函数为一个反比例函数：

f(x)=log⁡10exf(x)=\dfrac{\log_{10}e}{x}f(x)=xlog10e

从本福特定律的概念上讲，首数字为nnn的概率可以写成两种形式：

定积分的形式：Pint(n)=F(x)∣nn+1P_{int}(n)=F(x)|_n^{n+1}Pint(n)=F(x)∣nn+1
概率密度的形式：Pprob(n)=f(n)P_{prob}(n)=f(n)Pprob(n)=f(n)

连续化是为了拟合微积分计算，回到离散的形式：

Pprob(n)=f(n)=log⁡10enP_{prob}(n)=f(n)=\dfrac{\log_{10}e}{n}Pprob(n)=f(n)=nlog10e

换一种写法：

Pprob(n)×n=log⁡10eP_{prob}(n)\times n=\log_{10}ePprob(n)×n=log10e

这看起来符合齐夫定律。来看下是不是。

经过了连续～离散变换，连续情况下的反比例形式不能用于离散情况的计算，只能直观理解P(n)×n=常数CP(n)\times n=常数CP(n)×n=常数C。现在直接从本福特定律的结论入手，实际计算一下：

P(n)×n=n×log⁡10n+1n=log⁡10(n+1n)nP(n)\times n=n\times \log_{10}\dfrac{n+1}{n}=\log_{10}(\dfrac{n+1}{n})^nP(n)×n=n×log10nn+1=log10(nn+1)n

设：

g(n)=(n+1n)ng(n)=(\dfrac{n+1}{n})^ng(n)=(nn+1)n

g(n)g(n)g(n)快速逼近eee，但仅在nnn取1～9时，g(x)g(x)g(x)有意义，分别为：

g(1)=2,g(2)=2.25,g(3)=2.37,g(4)=2.44,g(5)=2.48,g(6)=2.52,g(7)=2.54,g(8)=2.56,g(9)=2.58g(1)=2, g(2)=2.25,g(3)=2.37,g(4)=2.44,g(5)=2.48,g(6)=2.52,g(7)=2.54,g(8)=2.56,g(9)=2.58g(1)=2,g(2)=2.25,g(3)=2.37,g(4)=2.44,g(5)=2.48,g(6)=2.52,g(7)=2.54,g(8)=2.56,g(9)=2.58

log⁡10x\log_{10}xlog10x单调递增，计算log⁡10g(1)\log_{10}g(1)log10g(1)和log⁡10g(9)\log_{10}g(9)log10g(9)的值，分别为：

log⁡10g(1)=0.301\log_{10}g(1)=0.301log10g(1)=0.301
log⁡10g(9)=0.411\log_{10}g(9)=0.411log10g(9)=0.411

它们相差非常小，可近似为符合齐夫定律。

这是为什么？

通过上述推导，PintP_{int}Pint和PprobP_{prob}Pprob是可以相互转换的，只要可以将事情抽象成PintP_{int}Pint的定积分形式，结合概率密度函数和积累分布函数的概念，一定可以通过求导换算成PprobP_{prob}Pprob，后者正好是一个反比例函数。这意味着位标xxx与函数值f(x)f(x)f(x)的乘积是一个常数，这是满足齐夫定律的条件。

那么齐夫定律的典型case，城市人口问题是否可以写成类似P(n)=log⁡10n+1nP(n)=\log_{10}\dfrac{n+1}{n}P(n)=log10nn+1的形式呢？是可以的。

城市人口来自于外来者的定居(城市没有土著，土著是乡村的概念)，一个人选择哪个城市定居取决于多个维度，列如下：

D1=生活环境D_1=生活环境D1=生活环境
D2=工作机会D_2=工作机会D2=工作机会
D3=子女教育D_3=子女教育D3=子女教育
D4=生活设施D_4=生活设施D4=生活设施
D5=医疗资源D_5=医疗资源D5=医疗资源
…

设人们有NNN个城市CiC_iCi可选，它们综合排名如下：C1>C2>C3...CNC_1>C_2>C_3...C_NC1>C2>C3...CN，人们选择定居地时，会在这NNN个城市中考虑DiD_iDi：

若i<ji<ji<j，则优先考虑CiC_iCi

若问是什么初始因素导致了城市规模的初始差异，就要涉及优先依附原则了，这又要牵扯到无标度网络的生长动力学，本文不谈这些，所以直接假设了排名。

DiD_iDi几乎每人都会考虑，但D2D_2D2，D3D_3D3可能有人不关心。终于，可以将所有人按照下列方式分类：

只考虑D1D_1D1的人。
同时考虑D1，D2D_1，D_2D1，D2的人。
同时考虑D1，D2，D3D_1，D_2，D_3D1，D2，D3的人。
同时考虑D1，D2，D3，D4D_1，D_2，D_3，D_4D1，D2，D3，D4的人。
同时考虑D1，D2，D3，D4，D5D_1，D_2，D_3，D_4，D_5D1，D2，D3，D4，D5的人。
…

无论如何，对于任何维度，排名靠前的城市一定被优先考虑。

进行下面的类比：

把上述考虑维度D1，D2，D3，...D_1，D_2，D_3，...D1，D2，D3，...看作自然数集首数概率问题中的个位，十位，百位…
把上述待考虑城市C1，C2，C3，...C_1，C_2，C_3，...C1，C2，C3，...看作自然数集首数概率问题中的1，2，3，...1，2，3，...1，2，3，...
把上述待定居人们的分类看作自然数集首数概率问题的个位数，十位数，百位数…

显然可以导出遵循齐夫定律的城市规模分布同样也遵循本福特定律：

第nnn大城市的人口占比：P=log⁡Nn+1nP=\log_N\dfrac{n+1}{n}P=logNnn+1

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。

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