从真实空间到傅立叶空间

物理对我的吸引力之一，来自于它教会了我用其他的方法看这个世界。

从家里走出门，外面阳光灿烂，来自太阳的光子打在我的皮肤上。太阳光子的能量被身体中的电子所吸收，我于是感觉到了温暖。

爬上钢管开始旋转，不小心加速太快，顿时头晕目眩。我于是张开双臂，用角动量守恒帮助自己降低旋转速度。

在深夜的中央公园放孔明灯。灯罩里的空气被慢慢加热，热空气分子之间的距离越来越远，压力越来越低。孔明灯最终被外面的冷空气抬起来，送上夜空。

除了具体的物理现象，我的抽象思维也受到改变。我的研究方向是宇宙学，所以时常需要离开真实空间，进入傅立叶空间。

因为大学读商科，我直到读天体物理博士时才接触傅立叶变换（注：我看到维基百科有两种翻译，“傅立叶”和“傅里叶”，因为我的输入法自动显示“傅立叶”，为了方便，下面我采用这个翻译）。傅立叶变换非常简单，即使数学基础薄弱，我仍然可以毫不费力地默写出公式：

F(k)是函数f(x)的傅立叶变换（第一行），如果对F(k)做逆傅立叶变换（第二行），又可以得回f(x)。

很长时间，我虽然可以解出相关的数学题目，却不明白傅立叶变换究竟有什么鬼用。它的物理意义在我脑海等于零。

有一次又在作业里被要求做傅立叶变换，我坐不住了，于是请教高年级的同学，“傅立叶变换有什么好玩的，为什么大家都爱它。”

师兄解释，“傅立叶变换有很多有趣的性质，比如，”他叉叉叉画了一张图，“一条无止境的正弦波，在傅立叶空间里，就只是一个简单的尖峰”。

○ 左图是在真实空间的正弦波，右图是经过傅立叶变换（FT）后，整个正弦波在傅立叶空间被压缩成一条（红色）竖线。

他见我面无表情地呆站在那里，又举了一个例子，“如果在真实空间是一个高斯分布，在傅立叶空间……”他又叉叉叉画了第二幅图，“它还是一个高斯分布。”

○ 如果在真实空间是一个高斯分布（左图），在傅立叶空间，它还是一个高斯分布（右图）。

我在内心翻了个白眼，问：“然后呢？”

接下来的解释稍微有意思一些。他说，“许多在真实空间里看上去很复杂的波形，其实是一些简单正弦波的叠加。这个可以用到很多地方，包括电台发出来的声波，海洋里波浪的形状，太阳活动周期。”

○ 任何形状的波浪，都可以被分解为许多正弦波。

“通过傅立叶变换，你可以把任何波形分解成不同频率的正弦波，有效地去提取其中的信息。”

○ 在真实空间里看起来复杂的波形S(t)，经过傅立叶变换成S(ω)，被分解为两个简单的正弦波。

“傅立叶空间”也可被理解为“频率空间”，“古代人”听的AM或者FM电台，就时常用电台波段的频率来命名电台。例如南昌音乐故事广播电台，是FM90.6兆赫。

○ AM和FM电台的频率范围。横轴是频率（波每秒钟震动的次数）。AM可以有106个台，FM可以有100个台。

虽然你可能不知道，但我们的大脑随时随地在做傅立叶变换–––当我们看到一大片绿叶，我们在脑海中把波长为540纳米（1纳米＝10^-9米）的光，傅立叶变换成了对应绿色频率的信号。

○ 不过AM和FM发射信号的原理不同。AM（Amplitude Modulation）是通过改变声波的大小（蓝线，时高时低），而FM（Frequency Modulation）则是通过改变信号的频率（绿线，时紧时松）来传输信号。比起AM，FM的优势在于，声音在传输过程中突然变小了也没有关系，所以不会像开车时听AM那样常有雪花噪音。

而当我们听到粉笔刮在黑板上发出刺耳的一声，我们把空气中传播的声波，傅立叶变换成高频率的信号，然后耳朵感到一阵酸痛。

○ 在日常生活中，真实空间中的长度（红色波浪）和傅立叶空间里的频率（底端灰色以及彩色长条）的相互转换关系。两者为反比–––真实空间中波长越长，傅立叶空间的频率越小。来源：维基百科。

后来，在量子力学中，我终于用到了傅立叶变换。在海森堡“不确定性原理”中，粒子的位置与动量不可同时被确定–––位置的不确定性越小，动量的不确定性越大，反之亦然。

○ “不确定性原理”的宏观解释（不完全准确，但可以帮助理解）：左图中，如果你能精确地看到小球的位置，就无法得知小球的方向和速度。右图中，你能精确地测量小球滚动的方向和速度，但小球的位置也随之非常模糊，无法精确测量。

上图是比较粗暴的宏观解释。在量子力学中，描述粒子位置x的波函数，经过傅立叶变换后，变成描述动量p的波函数（请忽略掉积分符合前面的一堆常数）。

这个公式因为用了希腊字母ψ和φ，看起来有些复杂，但是如果把ψ和φ换回F和f（忽略掉各个常数），就变回了我前面的第一个公式。

我后来总结，许多物理公式我学不好的原因是因为它们用希腊字母。事到如今，我仍然写不出来ξ（xi）和ζ（zeta）。考试的时候经常浪费很多时间在检查我的希腊字母究竟拐对了弯没有。

回归正题……我很快回想起了师兄给我画的那些图：

在这里，左图的蓝线可以看成是位置x的分布，越窄说明越精确。右图可以看为动量p，也就是x的傅立叶变换，同样也是越窄越精确。你可以看到，左边一旦窄了，右边就会宽，反之亦然。这就证明了x和p不能同时精确，也就是其中必有一个是不确定的。

虽然那时我对微观量子世界中粒子的“波粒二象性”半懂不懂，但是傅立叶变换的解释让我觉得，算凑合说得过去吧！

那时候《星际迷航》电影上映，里面有个瞬间转移器Transporter，可以把人体瞬间分解然后在另外一个地方重新组合起来，看起来就好像瞬间转移了。

○ 星际迷航里的transporter，宇航员们在飞船上被分解，又在某个星球上被重新组合起来，看起来就好像瞬间转移了。

我琢磨，根据海森堡的“不确定性原理”，这不可能啊–––如果你把一个人拆了，虽然你可以把他身体里的粒子放回原位，但粒子不知道接下来要怎么运行（也就是没有动量信息），那整个人下一秒不马上就散架了吗。

我上网搜索，果然已经有人向剧组提出了该疑问。剧组居然还认真思考了这个问题，并且在以后的剧情里加了一个“海森堡补偿器”（Heisenberg Compensators），专门用来消除“不确定性原理”。虽然觉得很离谱，我仍然为剧组的用心良苦而感动。

○ 《星际迷航》里的“海森堡补偿器”，太胡来了吧……

之后的两三年，傅立叶空间一直都不痛不痒地存在我脑海中，直到我选了宇宙学做毕业论文。

在真实空间中，我总要用到的“两点相关函数”通常是用希腊字母ξ来表示。每次写它的时候，我都觉得万分痛苦。

而在傅立叶空间，同样的两点相关函数（不过就改名字叫“能谱”了）是用C表示。光是为了这个生活上的便捷，我已经开始对傅立叶空间有了好感。

宇宙学中，非常重要的一副地图（也许应该叫“天图”哈哈）是“宇宙微波背景”（Cosmic Microwave Background，以下简称CMB）。宇宙微波背景的光来自137亿年以前的宇宙初期，是宇宙大爆炸遗留下来的痕迹。它是我们学习宇宙的最宝贵的资料之一。

○ 宇宙历史时间轴，左边Inflation为宇宙大爆炸，Cosmic Background Afterglow就是宇宙微波背景的源点。时间轴最右边是今天的宇宙。来源：World Science Festival。

下图显示了过去30年中，三个时期的太空望远镜Cobe，WMAP，Planck观测到的CMB。随着科技越来越先进，图的分辨率也越来越高。

○ 这幅图和我们平常习惯的世界地图差不多，除了我们不是往地球上看，而是往太空看，并且我们用的不是肉眼，而是微波波段的望远镜。

然而，如果我们一个像素一个像素地去看这幅图，无法找到太多线索，因为宇宙微波背景的光子是随机分布的。放大宇宙微波背景图，只看得到一堆噪音而已：

但如果我们对这CMB图做傅立叶变换，马上就得出一条非常简洁的曲线：

上图为宇宙微波背景的傅立叶变换：能谱（Power Spectrum）。横轴为角尺度（l），可以理解为电台的频率，但是现在不是时间上的频率了，而是空间上的频率。纵轴为能谱，可以理解为图1里的红色尖峰。不过在这里，因为各个频率的正弦波都有贡献，所以尖峰变成了一条曲线。

空间上的频率可以看作是你围绕球转一圈，颜色变了多少次。下图里面l＝0就是什么都没变，l＝1变了一次（北极特别红，南极特别蓝）。从前到后，l＝5就是红蓝红蓝红地来回变了五次。从左到右，m告诉你变的图案可能不一样（但频率还是一样的）。这个图像在量子力学求电子的能级时，也经常要用到（你看万物都是相通的呢！）。

因为CMB图是二维的，为了得到能谱，我们必须先做二维的傅立叶变换，然后再对所有相同的角尺度求平均值，最终得到一维的结果。不过这些细节不太有趣，我先忽略掉。

对于没有看习惯CMB能谱图的同学来说，这条曲线的意味可能比较模糊。下面两幅图是进一步解释：

○ 图片来源：https://wmap.gsfc.nasa.gov/mission/sgoals_parameters_spect.html

上图为WMAP团队对于CMB能谱的解释：红色曲线是实际测量，告诉我们宇宙微波背景在不同尺度下的能谱。直线为对比，表示如果所有的小点都是均匀分布的情况。上面三个显微镜告诉了我们在不同尺度下，预期的图像。就像我上一个图解释的那样，l越大，红蓝红蓝变换的频率就越高。

对于傅立叶空间中的小尺度，我们测量的是真实空间中的大尺度，而l＝1000的尺度，我们看到的恰恰相反，是密度很高的小点点。显微镜左半边是实际的CMB，右半边是均匀分布的CMB做对比。

○ 图片来源：http://background.uchicago.edu/~whu/metaanim.html

上面这个动图来自芝加哥大学Wayne Hu教授。左图显示了在每个尺度下，我们看到的微波背景。和前一幅图表达的意思完全一样，但是手法不同。

贴完这个图，我想起来有几位同学问我的问题：如何学好物理概念。我不能代表大众，但是个人来说，除了翻看教科书，我最喜欢的捷径是用关键词搜索相关图片。

只要不是弦理论那种世界上也没有几个人能搞懂的东西，力学、电磁学、量子力学、相对论这些被世界各地各种语言教烂了的概念，肯定已经有许多热心人士思考过很久要怎么解释。去知乎、quora、油管、google image上面去搜，肯定有一款适合你、让你有“噢！原来如此”的感叹。如果你运气好，还能搜到类似上图的动图！

回到傅立叶空间的CMB能谱图，为什么它如此重要？

○ 图片来源：https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Sept05/Gawiser2/Gawiser3.html

上图是非常典型的、一张图能搞晕全地球人的典范。但是因为信息非常丰富和全面，我还是忍不住贴过来。黑线是我们观测到的总体能谱，其他的彩色线是宇宙中各种物理现象（早中晚期都有）对其影响。

接下来这张图我觉得更加优美。我去年在巴西教宇宙学暑期学校时，逼迫同学们盯着它看了足足十分钟。

○ 图片来源：http://background.uchicago.edu/~whu/araa/node15.html

四个小图里，作者Wayne Hu用不同的颜色表示了四个物理现象对能谱的影响：

（a）宇宙的曲率（宇宙究竟是平的还是卷曲的）会让曲线左右移动；

（b）宇宙中的暗能量对于曲线的作用比较微弱，但是在大尺度（小l）可以看到许多变化；

（c）增加宇宙中重子（可见物质）的数量，会让峰更高；

（d）相反，增加总物质（大部分都是暗物质）则会让峰值变低。

你看，在傅立叶空间里，所有的物理现象一目了然。

○ 用了那么多Wayne Hu教授的图，我贴一张他的照片（网上找的）来给大家欣赏一下吧！

目前的宇宙学观测可以近乎完美地用“ΛCDM模型”来描述（虽然仍有一些争议）：

○ 图片来源：维基百科

六个常数就可以描述我们所在的宇宙啦，简单得让人难以相信！

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