简单数学基础【素数分布】+【异或】

1.素数分布

题目描述

素数分布函数π(n)表示小于或等于n的素数的数目。例如π(10)=4（2,3,5,7是素数）。这个函数涉及到许多高等数论的内容，甚至和黎曼猜想挂钩，目前还有很多数学家正在不断探索其中的奥秘。千里之行始于足下，现在你开始关心一个问题：在正整数域中素数的分布是怎么样的。为了探索这个问题，你需要计算出一些π(n)的值。

输入描述:

第一行一个整数T(T≤1000)，表示数据的组数。
接下来一共T行，第i+1(1≤i≤T)行表示第i组数据。每行一个正整数n(n≤1000)。

输出描述:

输出T行，第i行对应输入的第i组数据。每行一个正整数，表示π(n)的值。

题解说明：

题目思路很简单，把区间内的数判断一下是不是质数就可以了，但是代码写了半天。不知道为啥就卡住了，然后过了一会儿重新写就很顺就写完了，唉。

解题代码：

第一版：

#include<iostream>using namespace std;int t, k, j;int main(){cin >> t;while(t--){cin >> k;int res = 0;for(int i = 2; i <= k; i++){for(j = 2; j <= i * i; j++){if(i % j == 0)break;}if(j==i)res++;}cout << res << endl;}return 0;
}

第二版：

#include<iostream>using namespace std;const int N = 1010;int t, x, res = 0;bool prime(int x){if(x < 2)return false;for(int i = 2; i <= x / i; i++)if(x % i == 0)return false;return true;
}int main(){cin >> t;while(t--){cin >> x;for(int i = 2; i <= x; i++){if(prime(i) == true)res++;}cout << res << endl;res = 0;}return 0;
}

2.异或

题目描述

从前，Apojacsleam家的水族箱里，养了一群热带鱼。

在这几条热带鱼里，Apojacsleam特别喜欢一条叫做TbGx（请勿人肉）的热带鱼，所以每次都让她第一个吃食物。对于每一条鱼，Apojacsleam都有一个顺序，鱼会按照这个顺序排序，越靠前的地位越高。

吃饱喝足是要睡觉的，这是人的刚需，也是鱼的刚需。

如果TbGx吃了Apojacsleam的食物，她就会睡觉（睡觉时长远小于一天）。这时第二条鱼还是饥肠辘辘的，第二条鱼就可以吃掉TbGx，那么第二条鱼又会睡觉......

注意：Apojacsleam养的鱼比Apojacsleam的智商高到不知道哪里去了，他们都是绝顶聪明的；而他们又是极其守规矩的，即他们不会多鱼分食一条鱼或者食物，只是按照顺序吃；当某一条鱼前面的鱼睡着以后，他可以选择不吃这条鱼，那么别的鱼（还活着的）也不会吃这条，即按照顺序的吃。

一开始，水族箱里只有TbGx一条鱼（未成年），但是，一条鱼成长两天就会成年，成年后就可以繁殖（无性繁殖？别问我我不知道），一天能繁殖一个后代。小鱼也会吃鱼的偶!

请问在前n天中，TbGx最多多少天可以吃饭？

Apojacsleam不希望TbGx饿着，所以你必须在1s内回答。

输入描述:

输入数据有多组，每组一个正整数n，意义如“题目描述”
数据组数≤106\leq 10^6≤106

输出描述:

对于每组输入数据，一行输出：即前n天中，最多有多少天TbGx可以吃饭。

题解说明：

题面看完之后感觉上挺复杂的，然后看了一下下面的样例说明，应该是斐波那契数列前n项中奇数的个数就是最后的结果，但是它的这个n的数据范围特别大，用数组会越界，迭代会超时。

#include<iostream>using namespace std;typedef long long ll;ll n, res = 0, a = 1, b = 1, c;int main(){while(scanf("%lld", &n) != EOF){for(int i = 2; i < n; i++){c = a + b;if(c % 2 == 1)res++;a = b;b = c;}cout << res + 2 << endl;res = 0;}return 0;
}

最后也没想出应该咋优化这个东西了。然后看了题解发现可以用公式推出来这个数，吐了。而且这个也没想到和异或有啥关系，充满不解。

解题代码：

#include<iostream>using namespace std;typedef long long ll;ll n, res;int main(){while(scanf("%lld", &n) != EOF){res = (n / 3) * 2 + n % 3;printf("%lld\n", res);}return 0;
}