柯西判别法证明_柯西中值定理证明

在证明拉格朗日中值定理的时候我们提到过：拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。那我们是如何由拉格朗日中值定理引申出柯西中值定理呢?这得从拉格朗日中值定理说起,我们知道，拉格朗日中值定理的几何意义，如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么弧段上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弧AB，设弧AB由参数方程：

表示，其中t为参数，则曲线上点(x,y)处的斜率为

弦AB的斜率为

.假定点C对应于参数

,那么曲线上点C处的切线平行于弦AB，可表示为

这是函数在参数方程形式下的拉格朗日中值定理的表达形式，通过对这个问题的思考，可以得到下面更一般性的结论。

柯西中值定理  如果函数  及  满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一
那么在(a,b)内至少有一点  ，成立

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如何证明柯西定理呢？证明拉格朗日中值定理时我们从图形里找线索，当然我们也可以从结论出发，柯西中值定理的证明我们就从结论出发，然后构造出我们要的辅助函数，要证我们的结论成立，我们可以把结论的等式变形，

要证  成立，即成立  ，
所以我们设函数  ,
则要证成立  ，

我们不禁联想到，是否可以用罗尔定理来证明，这就需要检查函数

在闭区间[a,b]两端点处的函数值是否相等？下面就来验证一下，因为

  所以

由以上分析，我们可以通过引进辅助函数

，对

应用罗尔定理来证明柯西中值定理。

证明:首先注意到

,这是因为

,其中

,根据假定

，又

所以

。

设辅助函数

显然，

在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且

所以

适合罗尔定理的条件，因此在(a,b)内至少有一点

，使

由此得

，定理即证。

很明显，如果取

那么

因此柯西中值公式就可以写为

，这样便成了拉格朗日中值公式。

例题：提示：利用柯西中值定理与函数单调性判别法证明。

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