4种方法求2个数公因数

一、实验名称：求2个数的最大公约数
二、实验内容：利用辗转相除法、更相损减法、穷举法、Stein算法求两个数的最大公因数。并且比较这四种算法的运行时间。
三、算法设计和代码部分
1、辗转相除法
辗转相除法（又名欧几里德法）C语言中用于计算两个正整数a,b的最大公约数和最小公倍数，实质它依赖于下面的定理：
a b=0

gcd(a,b) =

gcd(b,a mod b) b!=0
其算法过程为：前提：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，c为余数
1、大数放a中、小数放b中；
2、求a/b的余数；
3、若c=0则b为最大公约数；
4、如果c!=0则把b的值给a、c的值给a；
5、返回第二步；
代码：
#include<stdio.h>
int main()
{
int a=0;
int b=0;
int c=0;
printf(“辗转相除法\n”);
printf(“请输入第一个数：\n”);
scanf("%d",&a);
printf(“请输入第二个数：\n”);
scanf("%d",&b);

while(a%b!=0)
{c=a%b;a=b;b=c;
}
printf("最大公约数为%d",b);
return 0;

}
辗转相除法算法流程图：

2、更相损减法
更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

代码：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int a=0;
int b=0;
int c=0;
int i=0;
printf(“求两个数的最大公约数\n”);
printf(“请输入第一个数的值：\n”);
scanf("%d",&a);
printf(“请输入第二个数的值：\n”);
scanf("%d",&b);

while(a!=b)
{while(a%2==0&&b%2==0){a=a/2;b=b/2;i++;}if(a>b) c=a-b;else c=b-a;a=b;b=c;
}
a=a*pow(2,i);
printf("这两个数的最大公约数是%d",a);return 0;

}
更相损减法算法流程图：

3、穷举法
穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。
代码：
#include<stdio.h>

int way(int a,int b)
{
int c;
if(a<b)
{
c=a;
a=b;
b=c;
}
else c=b;
while(c>0)
{
if(a%c0&&b%c0) break;
else c–;
}
return ©;
}

int main()
{
int m,n,v;
printf(“请输入两个数的值：\n”);
scanf("%d%d",&m,&n);
v=way(m,n);
printf("\n这两个数的最大公因数是：\n%d\n",v);
return 0;
}
穷举法算法流程图：

4、Stein算法
Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。来研究一下最大公约数的性质，发现有 gcd( kx,ky ) = kgcd( x,y ) 这么一个非常好的性质。试取 k=2，则有 gcd( 2x,2y ) = 2 * gcd( x,y )。很快联想到将两个偶数化小的方法。那么一奇一个偶以及两个奇数的情况如何化小呢？
先来看看一奇一偶的情况：设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = gcd( 2x,y ) 是奇数。根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。我们来证明一下：(2x)%a=0，设2x=na，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。又因为 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的约数。因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 gcd( 2x,y ) <= gcd( x,y )。因为gcd( x,y )明显是2x和y的公约数，又有gcd( x,y ) <= gcd( 2x,y )，所以 gcd( 2x,y ) = gcd( x,y )。至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。
再来看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，不妨设x>y，注意到x+y和x-y是两个偶数，则有 gcd( x+y,x-y ) = 2 * gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那么 gcd( x,y ) 与 gcd( x+y,x-y ) 以及 gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？为了方便设 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易发现 m+n=x ，m-n=y 。设 a = gcd( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公约数，有 gcd( m,n )<= gcd(x,y)。再设 b = gcd( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相同，有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，所以b是m和n的公约数，有 gcd( x,y ) <= gcd( m,n )。所以 gcd( x,y ) = gcd( m,n ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )。
整理一下，对两个正整数 x>y ：
1.均为偶数 gcd( x,y ) =2gcd( x/2,y/2 )；
2.均为奇数 gcd( x,y ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
2.x奇y偶 gcd( x,y ) = gcd( x,y/2 )；
3.x偶y奇 gcd( x,y ) = gcd( x/2,y ) 或 gcd( x,y )=gcd( y,x/2 )；
代码：
#include<stdio.h>
#include<stdio.h>

int gcd(int u,int v)
{
if (u == 0) return v;
if (v == 0) return u;
// look for factors of 2
if (~u & 1) // u is even
{
if (v & 1) // v is odd
return gcd(u >> 1, v);
else // both u and v are even
return gcd(u >> 1, v >> 1) << 1;
}
if (~v & 1) // u is odd, v is even
return gcd(u, v >> 1);
// reduce larger argument
if (u > v)
return gcd((u - v) >> 1, v);
return gcd((v - u) >> 1, u);
}

int main()
{
int a=0;
int b=0;
int c=0;
printf(“求两个数的最大公约数\n”);
printf(“请输入第一个数的值：\n”);
scanf("%d",&a);
printf(“请输入第二个数的值：\n”);
scanf("%d",&b);
c=gcd(a,b);
printf("\n最大公约数为%d\n",c);
return 0;
}
算法流程图：

无

本次实验

，一共是4个算法。我先接触时，是先思考各种方法如何解决这个问题的。通过上机说明和百度搜索，我先后理解辗转相除法和更相损减法，并且将这两个算法的流程图画好。并且在用代码实现自己的流程图时，感觉十分的流畅。
但是我在穷举法这却出现了问题。穷举法的思维很简单，所以我没有先画流程图，但是在用代码实现这个问题的时候，我发现我的代码总会出现一个问题：
Linking…
LIBCD.lib(crt0.obj) : error LNK2001: unresolved external symbol _main
Debug/123.exe : fatal error LNK1120: 1 unresolved externals
执行 link.exe 时出错.

123.exe - 1 error(s), 0 warning(s)
目前问题还没解决，代码参考了上机说明，我会进一步把问题搞清楚。关于stein算法，刚开始理解是用于优化，最后还得靠前三种方法解决，但是代码无法理解，还得继续思考这个问题。

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