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定义2.1：PTM
- 评价
定义2.2
- 评价
定义2.3:RP 等价定义
- 评价
定义2.4:
定义2.5
- 评价
定义2.6
定义2.7
- 评价
定义2.8

定义2.1：PTM

两转移函数δ0,δ1的TM两转移函数\delta_0,\delta_1的TM两转移函数δ0,δ1的TM
入x，每一步以1/2概率选择δ0或δ1，入x，每一步以 1/2 概率选择 \delta_0或\delta_1 ，入x，每一步以1/2概率选择δ0或δ1，
每次选择都与之前所有选择独立。每次选择都与之前所有选择独立。每次选择都与之前所有选择独立。

评价

只出1或0（拒绝），只出 1或 0（拒绝），只出1或0（拒绝），
M(x):M结束时输出的值。M(x) :M结束时输出的值。M(x):M结束时输出的值。

函数T:N→N,函数T:N \rightarrow N,函数T:N→N,
任意输入x,M不管如何随机决策任意输入 x, M 不管如何随机决策任意输入x,M不管如何随机决策
可在T(∣x∣)内在x上停机，可在 T(|x|) 内在 x 上停机，可在T(∣x∣)内在x上停机，
称M运行在T(∣x∣)时间内。称 M 运行在 T(|x|) 时间内。称M运行在T(∣x∣)时间内。

定义2.2

RTIME(T(n))包含所有语言L，RTIME(T(n)) 包含所有语言 L，RTIME(T(n))包含所有语言L，

对于L存在一个运行在T(n)时间内的PTM对于 L 存在一个运行在 T(n) 时间内的PTM对于L存在一个运行在T(n)时间内的PTM

s.t.s.t.s.t.
x∈L⇒Pr(M(x)=1)≥12x \in L \Rightarrow Pr(M(x)=1) \ge \frac{1}{2}x∈L⇒Pr(M(x)=1)≥21
x∉L⇒Pr(M(x)=0)=1x \notin L \Rightarrow Pr(M(x)=0) = 1x∈/L⇒Pr(M(x)=0)=1

评价

RP=∪c>0RTIME(nc)(randomizedpolynomial−time)RP=\cup_{c>0}RTIME(n^c) (randomized\quad polynomial-time)RP=∪c>0RTIME(nc)(randomizedpolynomial−time)
coRP={L∣L‾∈RP}coRP=\{L|\overline L \in RP\}coRP={L∣L∈RP}
单边错误的随机算法单边错误的随机算法单边错误的随机算法
L∈RP⇒x∉L，永不输出1，∈L，可能输出0L \in RP \Rightarrow x\notin L，永不输出1，\in L，可能输出0L∈RP⇒x∈/L，永不输出1，∈L，可能输出0
coRP恰反coRP 恰反coRP恰反

定义2.3:RP 等价定义

L∈RP⇔L \in RP \LeftrightarrowL∈RP⇔
∃多项式时间TMM和多项式函数p:N→N\exists 多项式时间TMM和多项式函数p:N\rightarrow N∃多项式时间TMM和多项式函数p:N→N
使得任意x∈{0,1}∗,有：使得任意x\in\{0,1\}^{*},有：使得任意x∈{0,1}∗,有：
x∈L⇒Prr∈R{0,1}p(∣x∣)[M(x,r)=1]≥0.5x \in L \Rightarrow Pr_{r\in R^{\{0,1\}^{p(|x|)}}}[M(x,r)=1] \ge 0.5x∈L⇒Prr∈R{0,1}p(∣x∣)[M(x,r)=1]≥0.5
x∉L⇒Prr∈R{0,1}p(∣x∣)[M(x,r)=0]=1x \notin L\Rightarrow Pr_{r\in R^{\{0,1\}^{p(|x|)}}}[M(x,r)=0]=1x∈/L⇒Prr∈R{0,1}p(∣x∣)[M(x,r)=0]=1
其中r∈R{0,1}p(∣x∣)表示从{0,1}p(x)随机选一个序列rr\in R^{\{0,1\}^{p(|x|)}}表示从\{0,1\}^{p(x)}随机选一个序列rr∈R{0,1}p(∣x∣)表示从{0,1}p(x)随机选一个序列r

评价

定义2.3用DTM替代了2.2中PTM，将随机性转到了r中。

显然等价，DTM可通过顺序读取比特串r来模拟PTM每一步随机决策。

RTIME定义的12可被任意大于零常数替换RTIME定义的\frac{1}{2}可被任意大于零常数替换RTIME定义的21可被任意大于零常数替换

上面的取名字RP12上面的取名字RP_{\frac{1}{2}}上面的取名字RP21

定义2.4:

RP12=RP0.001=RPϵRP_{\frac{1}{2}}=RP_{0.001}=RP_{\epsilon}RP21=RP0.001=RPϵ

证明：

显然RP12⊆RP0.001RP_{\frac{1}{2}}\subseteq RP_{0.001}RP21⊆RP0.001
若L∈RP0.001L\in RP_{0.001}L∈RP0.001，就是存在一个TM，使得
x∈L⇒Pr(M(x,r)=1)≥0.001x\in L \Rightarrow Pr(M(x,r)=1)\ge 0.001x∈L⇒Pr(M(x,r)=1)≥0.001
x∉L⇒Pr(M(x,r)=0)=1x\notin L \Rightarrow Pr(M(x,r)=0)=1x∈/L⇒Pr(M(x,r)=0)=1
要证L∈RP12L \in RP_{\frac{1}{2}}L∈RP21，必须新找一个TM’:这样运行，给一个xxx
- 扔到TM里面跑100次，TM输出含有1 TM’就输出1，TM全是0 TM’就输出0

则：
x∉L⇒Pr(M′(x,r)=0)=1x\notin L \Rightarrow Pr(M'(x,r)=0)=1x∈/L⇒Pr(M′(x,r)=0)=1
如果x∈L呢，接受概率多大呢？如果x \in L呢，接受概率多大呢？如果x∈L呢，接受概率多大呢？
Pr(M′(x,r)=1)=1−Pr(M′(x,r)=0)Pr(M'(x,r)=1)=1-Pr(M'(x,r)=0)Pr(M′(x,r)=1)=1−Pr(M′(x,r)=0)
=1−(Pr(M(x,r)=0))100==1-(Pr(M(x,r)=0))^{100}==1−(Pr(M(x,r)=0))100=
≥1−0.999100≥12\ge 1-0.999^{100}\ge \frac{1}{2}≥1−0.999100≥21

定义2.5

函数T:N→N函数T:N \rightarrow N函数T:N→N
语言L⊆{0,1}∗语言L \subseteq\{0,1\}^*语言L⊆{0,1}∗
如果对于所有x∈L，M不管如何决策都可在T(∣x∣)内停机且如果对于所有x\in L，M不管如何决策都可在T(|x|)内停机且如果对于所有x∈L，M不管如何决策都可在T(∣x∣)内停机且
Pr[M(x)=L(x)]≥23Pr[M(x)=L(x)] \ge \frac{2}{3}Pr[M(x)=L(x)]≥32
就说PTMM在T(n)内判定L就说PTM M在T(n)内判定L就说PTMM在T(n)内判定L

评价

BPTIME(T(n))是能被PTM在O(T(n))内判定BPTIME(T(n)) 是能被PTM 在O(T(n))内判定BPTIME(T(n))是能被PTM在O(T(n))内判定的语言类
BPP=∪cBPTIME(nc)BPP=\cup_c BPTIME(n^c)BPP=∪cBPTIME(nc)
上面的记为BPP13BPP_{\frac{1}{3}}BPP31
\

定义2.6

BPP13=BPP0.49BPP_{\frac{1}{3}}=BPP_{0.49}BPP31=BPP0.49
证明

BPP13⊆BPP0.49BPP_{\frac{1}{3}}\subseteq BPP_{0.49}BPP31⊆BPP0.49
若L∈BPP0.49L \in BPP_{0.49}L∈BPP0.49，存在一个多项式时间TM，s.t.
x∈L⇒Pr(M(x,r)=1)≥0.51x \in L \Rightarrow Pr(M(x,r)=1) \ge 0.51x∈L⇒Pr(M(x,r)=1)≥0.51
x∉L⇒Pr(M(x,r)=0)≥0.51x \notin L \Rightarrow Pr(M(x,r)=0) \ge 0.51x∈/L⇒Pr(M(x,r)=0)≥0.51
- 构造另一个TM′TM'TM′，给俺一个输入x，TM运行2k+1次x，TM运行2k+1次x，TM运行2k+1次，如果零多，就输出0，and vice verse。
- 当x∈Lx \in Lx∈L，希望拒绝概率是小于1/3呢(0多的概率)
  - Yi表TM第i次结果（1或0），它们独立同分布Y_i表TM第i次结果（1或0），它们独立同分布Yi表TM第i次结果（1或0），它们独立同分布
    Pr(Yi=1)=p≥0.51Pr(Y_i=1)=p\ge 0.51Pr(Yi=1)=p≥0.51

拒率：Pr(TM′(x,r)=0)=Pr(∑i2k+1Yi≤k)=拒率：Pr(TM'(x,r)=0)=Pr(\sum_i^{2k+1}Y_i\le k)=拒率：Pr(TM′(x,r)=0)=Pr(i∑2k+1Yi≤k)=
Pr(∑i2k+1Yi−(2k+1)p≤k−(2k+1)p)Pr(\sum_i^{2k+1}Y_i-(2k+1)p\le k-(2k+1)p)Pr(i∑2k+1Yi−(2k+1)p≤k−(2k+1)p)
≤Pr(∣∑i2k+1Yi−(2k+1)p∣≥(2k+1)p−k)\le Pr(|\sum_i^{2k+1}Y_i-(2k+1)p|\ge (2k+1)p-k)≤Pr(∣i∑2k+1Yi−(2k+1)p∣≥(2k+1)p−k)
≤(2k+1)(p−p2)[(2k+1)p−k]2\le \frac{(2k+1)(p-p^2)}{[(2k+1)p-k]^2}≤[(2k+1)p−k]2(2k+1)(p−p2)
≤(2k+1)(0.25)[(2k+1)p−k]2≤13\le \frac{(2k+1)(0.25)}{[(2k+1)p-k]^2} \le \frac{1}{3}≤[(2k+1)p−k]2(2k+1)(0.25)≤31
因p>12，所以总可找到k因p>\frac{1}{2}，所以总可找到k因p>21，所以总可找到k

定义2.7

ZTIME(T(n))包含语言L：ZTIME(T(n))包含语言L：ZTIME(T(n))包含语言L：

对L，存PTM，期运O(T(n))对L，存PTM，期运O(T(n))对L，存PTM，期运O(T(n))
当M在x上停，M(x)=L(x)当M在x上停，M(x)=L(x)当M在x上停，M(x)=L(x)

评价

ZPP=∪cZTIME(nc)，ZPP=\cup_c ZTIME(n^c)，ZPP=∪cZTIME(nc)，
- 期运时多项式，零错，拉斯维加斯
BPP RP coRP ，蒙特卡洛
ZPP 也有DTM的等定义、

牛逼的是ZPP=RP∩coRP牛逼的是ZPP=RP \cap coRP牛逼的是ZPP=RP∩coRP
开放的是P开放的是P\quad开放的是Pvs. NP∩coNP\quad NP \cap coNPNP∩coNP

定义2.8

ZPP=RP∩coRPZPP=RP \cap coRPZPP=RP∩coRP

证明

1先证ZPP⊆RP∩coRPZPP\subseteq RP\cap coRPZPP⊆RP∩coRP

∀L∈ZPP\forall L\in ZPP∀L∈ZPP,要证L∈RP,L∈coRP方一样要证L\in RP,L \in coRP方一样要证L∈RP,L∈coRP方一样

存一PTMPTMPTM，期时c1nc2c_1n^{c_2}c1nc2，∀x∈L\forall x \in L∀x∈L，PTMPTMPTM停时，M(x)=L(x)M(x)=L(x)M(x)=L(x)。

造PTM’！他这跑：

若PTM在10c1nc2c_1n^{c_2}c1nc2内停，原输
若超10c1nc2c_1n^{c_2}c1nc2，强出零。

x∉Lx\notin Lx∈/L，PTM不论啥停，必PTM’出零。

x∈Lx\in Lx∈L，PTM’错它率

Pr(M′(x)=0∣x∈L)=Pr(M运行≥10c1nc2∣x∈L)Pr(M'(x)=0|x\in L)=Pr(M运行\ge10c_1n^{c_2}|x\in L)Pr(M′(x)=0∣x∈L)=Pr(M运行≥10c1nc2∣x∈L)
≤c1nc210c1nc2=110牛！！\le \frac{c_1n^{c_2}}{10c_1n^{c_2}}=\frac{1}{10}牛！！≤10c1nc2c1nc2=101牛！！

2证ZPP⊇RP∩coRPZPP\supseteq RP\cap coRPZPP⊇RP∩coRP
对∀L∈RP∩coRP\forall L\in RP\cap coRP∀L∈RP∩coRP,证L∈ZPPL\in ZPPL∈ZPP,首先有：
存在一个M1:

∀x∈L⇒Pr(M1(x)=1)≥12\forall x\in L \Rightarrow Pr(M1(x)=1)\ge\frac{1}{2}∀x∈L⇒Pr(M1(x)=1)≥21
∀x∉L⇒Pr(M1(x)=0)=1\forall x\notin L \Rightarrow Pr(M1(x)=0)=1∀x∈/L⇒Pr(M1(x)=0)=1

存在一个M2:

∀x∈L⇒Pr(M2(x)=1)=1\forall x\in L \Rightarrow Pr(M2(x)=1)=1∀x∈L⇒Pr(M2(x)=1)=1
∀x∉L⇒Pr(M1(x)=0)≥12\forall x\notin L \Rightarrow Pr(M1(x)=0)\ge \frac{1}{2}∀x∈/L⇒Pr(M1(x)=0)≥21

构另一M，跑M1，M2，据俩果确M’是否停及出：

M1(x)=M2(x)=0M1(x)=M2(x)=0M1(x)=M2(x)=0，则M’停出0；
M1(x)=M2(x)=1M1(x)=M2(x)=1M1(x)=M2(x)=1，则M’停出1；
M1(x)=0，M2(x)=1M1(x)=0，M2(x)=1M1(x)=0，M2(x)=1，则M’不停，重模，可证期运≤\le≤ 2；
- x∈L⇒Pr(M1(x)=0,M2(x)=1)≤12x\in L \Rightarrow Pr(M1(x)=0,M2(x)=1)\le \frac{1}{2}x∈L⇒Pr(M1(x)=0,M2(x)=1)≤21
- x∉L⇒Pr(M1(x)=0,M2(x)=1)≤12x\notin L \Rightarrow Pr(M1(x)=0,M2(x)=1)\le \frac{1}{2}x∈/L⇒Pr(M1(x)=0,M2(x)=1)≤21
- 说每进的概率≤12，期次≤2\le \frac 12，期次\le 2≤21，期次≤2
第四种noway！！！！！！！！！！

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