1.边连通分量

边连通分量（e-DCC）：就是删除无向图的一条边，假如该图不连通了，则这条边叫做桥，边连通分量就是极大的不含桥的连通分量

1.弄连个时间戳dfn表示第一次遍历到这个点的时间戳，low是他的子树中的最小的时间戳

2.假如是桥，则dfn[x]<low[y]，则说明x->y这条边就是桥

3.用stack存边连通分量，因为假如low[x]==dfn[x],说明找到了这个点的祖宗节点，则入栈的就是他的子树，也就是边连通分量

1.冗余路径

395. 冗余路径 - AcWing题库

题目大意就是：给定一个无向连通图，问最少加多少条边，使得该图变成一个边双连通分量

先做一遍边的双连通分量，然后缩点建图，变成一棵树，答案就叶节点（也即度数为1的点）的一半向上取整，则ans=[cnt+1]/2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5010,M=20010;
int n,m;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int dfn[N],low[N],timestamp;
int stk[N],top;
int id[N],dcc_cnt;
bool is_bridge[M];
int d[N];
void add(int a,int b)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void tarjan(int u, int from)//u是当前节点，from是从那个节点更新过来的
{dfn[u]=low[u]=++timestamp;//第一次遍历让她们都等于时间戳stk[++top]=u;//把这个点入栈for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){int j=e[i];if(!dfn[j])//假如没有遍历过{tarjan(j,i);//遍历一遍low[u]=min(low[u],low[j]);if(dfn[u]<low[j])//假如是桥is_bridge[i]=is_bridge[i^1]=true;//正向边和反向边都是标记为桥，反向边就是i^1}else if(i!=(from^1)) low[u]=min(low[u],dfn[j]);//假如正向边不等于转移过来的边，也即不是父节点，则更新}if(dfn[u]==low[u])//假如相等了说明找到了一个连通块{++dcc_cnt;//连通块++int y;do{y=stk[top--];//栈里的元素就是他的连通块元素id[y]=dcc_cnt;//标记这个点是属于这个连通块的}while(y!=u);}
}
int main()
{cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);while(m--){int a,b;cin>>a>>b;add(a,b),add(b,a);}tarjan(1,-1);//搜索一下所有的边for(int i=0;i<idx;i++)//枚举一下所有的边if(is_bridge[i])//假如这条边是桥d[id[e[i]]]++;//则则这条边的上一个边连通分量度数++int cnt=0;for(int i=1;i<=dcc_cnt;i++)//缩点后的图if(d[i]==1) cnt++;//算一遍度数为1的边cout<<(cnt+1)/2<<endl;return 0;
}

2.点连通分量

点连通分量（v-DCC）：就是删除无向图的一个点，假如该图不连通了，则这个点叫做割点，点连通分量就是极大的不含割点的连通分量

1.弄连个时间戳dfn表示第一次遍历到这个点的时间戳，low是他的子树中的最小的时间戳

2.求割点：当low[y]>=dfn[x],

（1）假如x不是根节点，那么x是割点

（2）假如是根节点，至少有两个字节点yi使得low[yi]>=dfn[x],则x是割点

3.用stack存边连通分量，因为假如low[x]==dfn[x],说明找到了这个点的祖宗节点，则入栈的就是他的子树，也就是边连通分量

1.电力

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

1.统计连通块的个数cnt

2.枚举从那个连通块中删，在枚举连通块中删除那个点，假如删除这个点后该连通块变成了s个，则答案就是max(s+cnt-1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10010,M=30010;
int n,m,ans,root;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int dfn[N],low[N],timestamp;
void add(int a,int b)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void tarjan(int u)
{dfn[u]=low[u]=++timestamp;//第一次遍历让她们都等于时间戳int cnt=0;//记录删除割点后的连通块个数for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){int j=e[i];if(!dfn[j])//假如没有遍历过{tarjan(j);//遍历一遍low[u]=min(low[u],low[j]);if(low[j]>=dfn[u]) cnt++;//假如是割点，则连通块++}else  low[u]=min(low[u],dfn[j]);//更新一遍最小值}if(u!=root&&cnt) cnt++;//假如不是根，且连通块个数不为0，说明这个也是一个割点，则连通块个数+1ans=max(ans,cnt);//更新一遍最大值
}
int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m),n||m){memset(dfn,0,sizeof dfn);//清空，因为dfn兼具判重的作用memset(h,-1,sizeof h);//清空idx=timestamp=0;//清空状态while(m--){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);add(a,b),add(b,a);}ans=0;int cnt=0;for(root=0;root<n;root++)//枚举每个为根if(!dfn[root])//假如不在任何一个连通块中{cnt++;//则新开个连通块tarjan(root);//遍历一遍}printf("%d\n",cnt+ans-1);}return 0;
}

2.矿场搭建

396. 矿场搭建 - AcWing题库

题意：给定一个无向图，问最少在几个点上设置出口，可以使得不管哪个点坍塌，其余所有点都可以与某个出口连通

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int N=1010,M=510;
int n,m,root;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int dfn[N],low[N],timestamp;
int stk[N],top;
int id[N],dcc_cnt;
vector<int>dcc[N];
bool cut[N];
void add(int a,int b)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void tarjan(int u)
{dfn[u]=low[u]=++timestamp;//第一次遍历让她们都等于时间戳stk[++top]=u;if(u==root&&h[u]==-1)//假如是孤立点{dcc_cnt++;dcc[dcc_cnt].push_back(u);return;}int cnt=0;//记录子树的个数for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){int j=e[i];if(!dfn[j])//假如没有遍历过{tarjan(j);//遍历一遍low[u]=min(low[u],low[j]);if(low[j]>=dfn[u]){cnt++;//子树加1if(u!=root||cnt>1) cut[u]=true;//假如不为根或者子树为>1则为割点++dcc_cnt;int y;//求割点中的点，也即点连通块的点，并放进队列中去do{y=stk[top--];dcc[dcc_cnt].push_back(y);}while(y!=j);dcc[dcc_cnt].push_back(u);}}else  low[u]=min(low[u],dfn[j]);//更新一遍最小值}
}
int main()
{int T=1;while(cin>>m,m){for(int i=1;i<=dcc_cnt;i++) dcc[i].clear();//清空idx=n=timestamp=top=dcc_cnt=0;//初始化memset(cut,0,sizeof cut);//清空割点memset(dfn,0,sizeof dfn);//清空，因为dfn兼具判重的作用memset(h,-1,sizeof h);//清空while(m--){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);n=max(n,max(a,b));add(a,b),add(b,a);}for(root=1;root<=n;root++)//枚举每个为根if(!dfn[root])//假如不在任何一个连通块中tarjan(root);//遍历一遍int res=0;ull num=1;for(int i=1;i<=dcc_cnt;i++)//枚举每一个连通块{int cnt=0;int len=dcc[i].size();for(int j=0;j<len;j++)//枚举该连通块的点if(cut[dcc[i][j]])//假如是割点，则割点++cnt++;if(cnt==0&&len>1) res+=2,num*=len*(len-1)/2;//假如不是割点且点的数量大于1else if(cnt==0) res++;//假如不是割点点的数量为1,则为孤立点else if(cnt==1) res++,num*=len-1;//假如有一个割点}printf("Case %d: %d %llu\n",T++,res,num);}return 0;
}

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