[HAOI2015][loj2127]按位或

1 前言

大概又是Min-Max容斥与FMT的裸题吧
刚学完Min-Max容斥，式子推的飞快

2 题目相关

2.1 题目大意

一开始你手上有一个数000，每次或上随机一个在[0,2n)[0,2^n)[0,2n)中的数（给出随到每个数的概率），求期望多少步你手上的数变为2n−12^n-12n−1

2.2 数据范围

n≤20n\le 20n≤20，所有概率的输入以及期望步数的输出都使用实数

3 题解

我们发现我们可以直接Min-Max容斥
max{S}=∑T⊆S(−1)∣T∣+1min{T}max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}min\{T\}max{S}=T⊆S∑(−1)∣T∣+1min{T}
我们发现max{S}max\{S\}max{S}相当于是变为2n−12^n-12n−1的期望步数，min{T}min\{T\}min{T}代表进行操作与集合TTT有交的期望步数
我们就可以直接做了
我们知道，如果求出了min{T}min\{T\}min{T}我们可以直接Θ(2n)\Theta(2^n)Θ(2n)计算答案了
考虑如何计算min{T}min\{T\}min{T}
设取到SSS的概率为gSg_SgS，我们发现min{S}=11−∑T∩S=∅gTmin\{S\}=\frac{1}{1-\sum_{T\cap S=\varnothing}g_T}min{S}=1−∑T∩S=∅gT1
我们相当于要求fS=∑T∩S=∅gTfS=∑T∩(CuS)=TgTfS=∑T⊆(CuS)gT\begin{aligned} f_{S}&=\sum_{T\cap S=\varnothing}g_T\\ f_{S}&=\sum_{T\cap(Cu_S)=T}g_T\\ f_{S}&=\sum_{T\subseteq(Cu_S)}g_T\\ \end{aligned}fSfSfS=T∩S=∅∑gT=T∩(CuS)=T∑gT=T⊆(CuS)∑gT
然后翻转一下，就是子集卷积了，使用FMT即可
非常方便

4 代码

贴上我写的第一份代码（未卡常版本）

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
namespace fast_IO
{const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1;inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;}inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;}inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);}
}
using namespace fast_IO;
#define getchar() getchar_()
#define putchar(x) putchar_((x))
#define rg register
typedef long long LL;
template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;}
template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;}
template <typename T> inline void mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;}
template <typename T> inline void maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;}
template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;}
template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;}
template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);}
template <typename T> inline T lcm(const T a,const T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;};
template <typename T> inline void read(T&x)
{char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x;
}
double xs[11][10];
template <typename T> inline void Read(T&x)
{char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(cu=='.'){cu=getchar();int t=0;while(isdigit(cu))x+=xs[++t][cu-'0'],cu=getchar();}if(fla)x=-x;
}
template <typename T> inline void printe(const T x)
{if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0');
}
template <typename T> inline void print(const T x)
{if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x);
}
int bit[21],n,lenth;
double g[2097152],ans;
bool pc[2097152];
int main()
{xs[0][1]=1;for(rg int i=1;i<=10;i++){xs[i][1]=xs[i-1][1]/10;for(rg int j=1;j<=9;j++)xs[i][j]=xs[i][1]*j;}bit[0]=1;for(rg int i=1;i<=20;i++)bit[i]=bit[i-1]<<1;read(n),lenth=bit[n];for(rg int i=lenth-1;i>=0;i--)Read(g[i]);for(rg int i=1;i<lenth;i<<=1)for(rg int j=0;j<lenth;j+=(i<<1))for(rg int k=0;k<i;k++)g[j+k]+=g[j+k+i];const int Low=lenth-1;for(rg int i=1;i<lenth;i++){pc[i]=pc[i>>1]^(i&1);if(g[i]>=0.999999999){puts("INF");return flush(),0;}if(pc[i])ans+=1.0/(1-g[i]);else ans-=1.0/(1-g[i]);}printf("%.8lf",ans);return flush(),0;
}

5 总结

这道题我进行了一波卡常（你看我写的第一份代码已经用实数读优了）
然后我学习到了一个小技巧
这题里的FMT我用的是FWTand的写法（写FWTor也可以，反正不是两重循环的）
然后对于FWT，将最底下的两层单独提出来用for循环做，速度会有明显的提升
就不贴卡常后的代码了