动态规划：挖金矿问题

问题描述：

很久很久以前，有一位国王拥有 5 座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人人数也不同。例如有的金矿储量是 500kg黄金，需要 5 个工人来挖掘；有的金矿储量是 200kg 黄金，需要 3 个工人来挖掘…… 如果参与挖矿的工人的总数是 10。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半的金矿。要求用程序求出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

动态规划思想：

动态规划，就是把复杂的问题简化成规模较小的子问题，再从简单的子问题自底向上一步一步递推，最终得到复杂问题的最优解。

对于问题中的金矿来说，每一个金矿都存在着“ 挖” 和“ 不挖” 两种选择。让我们假设一下，如果最后一个金矿注定不被挖掘，那么问题会转化成什么样子呢？显然，问题简化成了 10 个工人在前 4 个金矿中做出最优选择。

相应地，假设最后一个金矿一定会被挖掘，那么问题又转化成什么样子呢？由于最后一个金矿消耗了 3 个工人，问题简化成了 7 个工人在前 4 个金矿中做出最优选择。

这两种简化情况，被称为全局问题的两个最优子结构。究竟哪一种最优子结构可以通向全局最优解呢？换句话说，最后一个金矿到底该不该挖呢？那就要看 10 个工人在前 4 个金矿的收益，和 7 个工人在前 4 个金矿的收益 + 最后一个金矿的收益谁大谁小了。

状态转移方程式：

我们把金矿数量设为 n，工人数量设为 w，金矿的含金量设为数组 g[]，金矿所需开采人数设为数组 p[]，设 F（ n， w）为 n 个金矿、 w 个工人时的最优收益函数，那么状态转移方程式如下。

问题边界，金矿数为 0 或工人数为 0 的情况。

F( n, w) = 0 (n = 0 或 w = 0)

当所剩工人不够挖掘当前金矿时，只有一种最优子结构。

F( n, w) = F( n-1, w) (n ≥ 1, w < p[ n-1])

在常规情况下，具有两种最优子结构（挖当前金矿或不挖当前金矿）。

F( n, w) = max( F( n-1, w), F( n-1, w-p[ n-1]) + g[ n-1]) (n ≥ 1, w ≥ p[ n-1])

递归实现：

//递归实现public static int gbgm1(int n,int w,int[] p, int[] g){if(n ==0 || w == 0){return 0;}if(w < p[n-1]){return gbgm1(n-1,w,p,g);}else{return Math.max(gbgm1(n-1,w ,p,g),gbgm1(n-1,w - p[n-1],p,g)+g[n-1]);}}

递归实现会造成大量的空间浪费与时间消耗，有大量重复的计算

因此创建一个中间表来存储结果，自底向上去计算。

非递归实现：

//自底向上,改为非递归实现public static int gbgm2(int w,int[] p, int[] g){int[][] result = new int[w+1][w+1];for(int i = 1; i <= g.length;i++){for(int j = 1; j <= w;j++){if(j < p[i-1]){//i 是金矿编号，p[i-1] 即为挖取i号金矿需要的工人result[i][j] = result[i-1][j];}else {result[i][j] = Math.max(result[i-1][j],result[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]);}}}return result[g.length][w];}

以上代码仍有优化空间，可以优化存储，因为当前行的计算结果只依赖上一行结果，所以可以创建一维数组，从后往前计算，防止覆盖掉上一行数据，从而节省空间的消耗

优化：

//优化空间public static int gbgm3(int w,int[] p, int[] g){int[] result = new int[w+1];for(int i = 1; i <= g.length; i++){for (int j = w; j >= 1; j--){//从后面往前去计算结果，不会覆盖掉数据，可以依据上一次的计算结果得出该行结果if(j >= p[i-1]){result[j] = Math.max(result[j],result[j-p[i-1]]+g[i-1]);}}}return result[w];}

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