主成分分析PCA案例

主成分分析

引言主成分分析（PCA）是一种能够极大提升无监督特征学习速度的数据降维算法。更重要的是，理解PCA算法，对实现白化算法有很大的帮助，很多算法都先用白化算法作预处理步骤。假设你使用图像来训练算法，因为图像中相邻的像素高度相关，输入数据是有一定冗余的。具体来说，假如我们正在训练的16x16灰度值图像，记为一个256维向量，其中特征值对应每个像素的亮度值。由于相邻像素间的相关性，PCA算法可以将输入向量转换为一个维数低很多的近似向量，而且误差非常小。实例和数学背景在我们的实例中，使用的输入数据集表示为，维度即。假设我们想把数据从2维降到1维。（在实际应用中，我们也许需要把数据从256维降到50维；在这里使用低维数据，主要是为了更好地可视化算法的行为）。下图是我们的数据集：wbx这些数据已经进行了预处理，使得每个特征和具有相同的均值（零）和方差。为方便展示，根据值的大小，我们将每个点分别涂上了三种颜色之一，但该颜色并不用于算法而仅用于图解。PCA算法将寻找一个低维空间来投影我们的数据。从下图中可以看出，是数据变化的主方向，而是次方向。也就是说，数据在方向上的变化要比在方向上大。为更形式化地找出方向和，我们首先计Deep Learning - Ngwbx算出矩阵，如下所示：假设的均值为零，那么就是x的协方差矩阵。（符号，读"Sigma"，是协方差矩阵的标准符号。虽然看起来与求和符号比较像，但它们其实是两个不同的概念。）可以证明，数据变化的主方向就是协方差矩阵的主特征向量，而是次特征向量。注：如果你对如何得到这个结果的具体数学推导过程感兴趣，可以参看CS229（机器学习）PCA部分的课件（链接在本页底部）。但如果仅仅是想跟上本课，可以不必如此。你可以通过标准的数值线性代数运算软件求得特征向量（见实现说明）.我们先计算出协方差矩阵的特征向量，按列排放，而组成矩阵：此处，是主特征向量（对应最大的特征值），是次特征向量。以此类推，另记为相应的特征值。在本例中，向量和构成了一个新基，可以用来表示数据。令为训练样本，那么就是样本点在维度上的投影的长度（幅值）。同样的，是投影到维度上的幅值。旋转数据至此，我们可以把用基表达为：（下标“rot”来源于单词“rotation”，意指这是原数据经过旋转（也可以说成映射）后得到的结果）对数据集中的每个样本分别进行旋转： for every ，然后把变换后的数据显示在坐标图上，可得：Deep Learning - Ngwbx这就是把训练数据集旋转到，基后的结果。一般而言，运算表示旋转到基 , , ..., 之上的训练数据。矩阵有正交性，即满足，所以若想将旋转后的向量还原为原始数据，将其左乘矩阵即可： , 验算一下： .数据降维数据的主方向就是旋转数据的第一维。因此，若想把这数据降到一维，可令：更一般的，假如想把数据降到维表示（令）,只需选取的前个成分，分别对应前个数据变化的主方向。PCA的另外一种解释是：是一个维向量，其中前几个成分可能比较大（例如，上例中大部分样本第一个成分的取值相对较大），而后面成分可能会比较小（例如，上例中大部分样本的较小）。PCA算法做的其实就是丢弃中后面（取值较小）的成分，就是将这些成分的值近似为零。具体的说，设是的近似表示，那么将除了前个成分外，其余全赋值为零，就得到：Deep Learning - Ngwbx在本例中，可得的点图如下（取）：然而，由于上面的后项均为零，没必要把这些零项保留下来。所以，我们仅用前个（非零）成分来定义维向量。这也解释了我们为什么会以为基来表示数据：要决定保留哪些成分变得很简单，只需取前个成分即可。这时也可以说，我们“保留了前个PCA（主）成分”。还原近似数据现在，我们得到了原始数据的低维“压缩”表征量，反过来，如果给定，我们应如何还原原始数据呢？查看以往章节以往章节可知，要转换回来，只即可。进一步，我们把看作将的最后个元素被置0所得的近似表示，因此如果给定，可以通过在其末尾添加个0来得到对的近似，最后，左乘便可近似还原出原数据。具体来说，计算如下：上面的等式基于先前对的定义。在实现时，我们实际上并不先给填0然后再左乘，因为这意味着大量的乘0运算。我们可用来与的前列相乘，即上式中最右项，来达到同样的目的。将该算法应用于本例中的数据集，可得如下关于重构数据的点图：Deep Learning - Ngwbx由图可见，我们得到的是对原始数据集的一维近似重构。在训练自动编码器或其它无监督特征学习算法时，算法运行时间将依赖于输入数据的维数。若用取代作为输入数据，那么算法就可使用低维数据进行训练，运行速度将显著加快。对于很多数据集来说，低维表征量是原数据集的极佳近似，因此在这些场合使用PCA是很合适的，它引入的近似误差的很小，却可显著地提高你算法的运行速度。选择主成分个数我们该如何选择，即保留多少个PCA主成分？在上面这个简单的二维实验中，保留第一个成分看起来是自然的选择。对于高维数据来说，做这个决定就没那么简单：如过大，数据压缩率不高，在极限情况时，等于是在使用原始数据（只是旋转投射到了不同的基）；相反地，如果过小，那数据的近似误差太太。决定值时，我们通常会考虑不同值可保留的方差百分比。具体来说，如果，那么我们得到的是对数据的完美近似，也就是保留了100%的方差，即原始数据的所有变化都被保留下来；相反，如果，那等于是使用零向量来逼近输入数据，也就是只有0%的方差被保留下来。一般而言，设表示的特征值（按由大到小顺序排列），使得为对应于特征向量的特征值。那么如果我们保留前个成分，则保留的方差百分比可计算为：在上面简单的二维实验中，，。因此，如果保留个主成分，等于我们保留了，即91.3%的方差。对保留方差的百分比进行更正式的定义已超出了本教程的范围，但很容易证明，。因此，如果，则说明也就基本上接近于0，所以用0来近似它并不会产生多大损失。这也解释了为Deep Learning - Ngwbx什么要保留前面的主成分（对应的值较大）而不是末尾的那些。这些前面的主成分变化性更大，取值也更大，如果将其设为0势必引入较大的近似误差。以处理图像数据为例，一个惯常的经验法则是选择以保留99%的方差，换句话说，我们选取满足以下条件的最小值：对其它应用，如不介意引入稍大的误差，有时也保留90-98%的方差范围。若向他人介绍PCA算法详情，告诉他们你选择的保留了95%的方差，比告诉他们你保留了前120个（或任意某个数字）主成分更好理解。对图像数据应用PCA算法为使PCA算法能有效工作，通常我们希望所有的特征都有相似的取值范围（并且均值接近于0）。如果你曾在其它应用中使用过PCA算法，你可能知道有必要单独对每个特征做预处理，即通过估算每个特征的均值和方差，而后将其取值范围规整化为零均值和单位方差。但是，对于大部分图像类型，我们却不需要进行这样的预处理。假定我们将在自然图像上训练算法，此时特征代表的是像素的值。所谓“自然图像”，不严格的说，是指人或动物在他们一生中所见的那种图像注：通常我们选取含草木等内容的户外场景图片，然后从中随机截取小图像块（如16x16像素）来训练算法在实践中我们发现，大多数特征学习算法对训练图片的确切类型并不敏感，所以大多数用普通照相机拍摄的图片，只要不是特别的模糊或带有非常奇怪的人工痕迹，都可以使用。在自然图像上进行训练时，对每一个像素单独估计均值和方差意义不大，因为（理论上）图像任一部分的统计性质都应该和其它部分相同，图像的这种特性被称作平稳性（stationarity）。具体而言，为使PCA算法正常工作，我们通常需要满足以下要求：(1)特征的均值大致为0；(2)不同特征的方差值彼此相似。对于自然图片，即使不进行方差归一化操作，条件(2)也自然满足，故而我们不再进行任何方差归一化操作（对音频数据,如声谱,或文本数据,如词袋向量，我们通常也不进行方差归一化）。实际上，PCA算法对输入数据具有缩放不变性，无论输入数据的值被如何放大（或缩小），返回的特征向量都不改变更正式的说：如果将每个特征向量都乘以某个正数（即所有特征量被放大或缩小相同的倍数），PCA的输出特征向量都将不会发生变化。既然我们不做方差归一化，唯一还需进行的规整化操作就是均值规整化，其目的是保证所有特征的均值都在附近。根据应用，在大多数情况下，我们并不关注所输入图像的整体明亮程度。比如在对象识别任务中，图像的整体明亮程度并不会影响图像中存在的是什么物体。更为正式地说，我们对图像块的平均亮度值不感兴趣，所以可以减去这个值来进行均值规整化。具体的步骤是，如果代表16x16的图像块的亮度（灰度）值（），可用如下算法来对每幅图像进行零均值化操作：, for all请注意：1）对每个输入图像块都要单独执行上面两个步骤，2）这里的是指图像块的平均亮度值。尤其需要注意的是，这和为每个像素单独估算均值是两个完全不同的概念。如果你处理的图像并非自然图像（比如，手写文字，或者白背景正中摆放单独物体），其他规整化操作就值得考虑了，而哪种做法最合适也取决于具体应用场合。但对自然图像而言，对每幅图像进行上述的零均值规整化，是默认而合理的处理Deep Learning -

主成分分析PCA案例相关推荐

主成分分析PCA案例及原理
1. 主成分分析PCA案例 https://blog.csdn.net/goodshot/article/details/78080220 http://www.cnblogs.com/zhangch ...
清风数学建模学习笔记——主成分分析(PCA)原理详解及案例分析
主成分分析本文将介绍主成分分析(PCA),主成分分析是一种降维算法,它能将多个指标转换为少数几个主成分,这些主成分是原始变量的线性组合,且彼此之间互不相关,其能反映出原始数据的大部分信息. 一般 ...
机器学习系列笔记六:主成分分析PCA[下]
机器学习系列笔记六:主成分分析PCA[下] 文章目录机器学习系列笔记六:主成分分析PCA[下] scikit-learn中的PCA 基本使用进阶操作对比实验设置合理的n_components ...
sklearn主成分分析PCA
sklearn主成分分析PCA 菜菜的sklearn学习笔记文章目录 sklearn主成分分析PCA 数学原理代码导入包导入数据核心代码查看降维后所带有的信息量大小可视化扩展累计方差 ...
机器学习-Sklearn（第三版）Day4 主成分分析PCA与奇异值分解SVD
目录一.简介什么是维度 sklearn中的降维算法二.PCA与SVD 0.如何实现降维算法思考:PCA和特征选择技术都是特征工程的一部分,它们有什么不同? 1.重要参数n_components ...
主成分分析(PCA)简介
主成分分析(Principal Components Analysis, PCA)是一个简单的机器学习算法,可以通过基础的线性代数知识推导. 假设在Rn空间中我们有m个点{x(1),-,x(m)},我 ...
223.主成分分析PCA
主成分分析 PCA 本节作者:刘华,中国科学技术大学版本1.0.3,更新日期:2020年6月18日什么是PCA(Principal Component Analysis) 相关背景在许多领域的研 ...
R语言主成分分析PCA和因子分析EFA、主成分（因子）个数、主成分（因子）得分、主成分（因子）旋转（正交旋转、斜交旋转）、主成分（因子）解释
R语言主成分分析PCA和因子分析EFA.主成分(因子)个数.主成分(因子)得分.主成分(因子)旋转(正交旋转.斜交旋转).主成分(因子)解释目录
Python数据集可视化：抽取数据集的两个特征进行二维可视化、主成分分析PCA对数据集降维进行三维可视化（更好地理解维度之间的相互作用）
Python数据集可视化:抽取数据集的两个特征进行二维可视化.主成分分析PCA对数据集降维进行三维可视化(更好地理解维度之间的相互作用) 目录 Python数据集可视化:抽取数据集的两个特征进行二维可 ...

主成分分析PCA案例

主成分分析PCA案例相关推荐

最新文章

热门文章