题目

一个秘密?，被分割成?个子秘密(??,??)，从?个子秘密(??,??)中任意选择大于等于?个，能够恢复出秘密?，少于t个则不能恢复出秘密?。

环境

Windows10，MinGW-W64-builds-4.3.5，miracl 7.0.1

方案设计

背景

中国剩余定理

原理

(?,?)门限，一个秘密?，被分割成?个子秘密 (?_?,?_?)
对于某个秘密 ?，计算

{k1≡k(modd1)k2≡k(modd2)kn≡k(moddk)\begin{cases} k_1 ≡ k (mod \, d1) \\ k_2≡ k (mod \, d2)\\\\\\ k_n ≡ k (mod \, dk) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧k1≡k(modd1)k2≡k(modd2)kn≡k(moddk)则子秘密为 (?_?,?_?)
要求一：选择?个整数??,??,⋯,??，满足
（1）?_? < ?_? < ⋯ < ?_?；
（2） (?_?,?_?) = ?，? ≠ ?；
（3）? = ?_?×?_? ×⋯×?_?
? = ?_?−?+? ×?_?−?+? ×⋯×?_?，有? > ?
要求二： ? > ? > ?

?个子秘密中任意选择?个，(???,???), (???,???),⋯, (???,???)，恢复出秘密 ?，计算{ki1≡k(moddi1)ki2≡k(moddi2)kit≡k(moddit)\begin{cases} k_{i1} ≡ k (mod \, di1) \\ k_{i2}≡ k (mod \, di2)\\\\\\ k_{it} ≡ k (mod \, dit) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ki1≡k(moddi1)ki2≡k(moddi2)kit≡k(moddit)恢复出秘密 ? ≡ ? ??? ??，?? = ??? ⋯???。
任意选择?−? 个子秘密不能恢复出秘密：（?_??,?_??）, （?_??,?_??）, ⋯, （?_??−?,?_??−?）
? ≡ ? ???_? ，?_? = ?_???_?? ⋯?_??−?
N₁> N > k > M > M₁

算法步骤

(3,5)门限，一个秘密?，被分割成5个子秘密 (??,??)。

随机生成300 bits的大整数K
在2300/3和2300/(5-3)之间取5个素数作为di，?? < ?? < ?3 < ?4< ?5
计算 ? = ?? ×?? ×?3 ，? = ?4 ×?5
计算 ki ≡ K (??? di)
恢复：随机选择3个di，利用中国剩余定理计算x {ki1≡k(moddi1)ki2≡k(moddi2)kit≡k(moddit)\begin{cases} k_{i1} ≡ k (mod \, di1) \\ k_{i2}≡ k (mod \, di2)\\\\\\ k_{it} ≡ k (mod \, dit) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ki1≡k(moddi1)ki2≡k(moddi2)kit≡k(moddit)? ≡ ? ???_? ，?? = ?_???_?? ⋯?_??。
比较x与K是否相等。

方案实现

流程图

主要函数

bigdig(int b, int t，big w) 生成b位t进制的大数w
expint(int t, int b, big z)求z=tb
isprime(big v)判断v是否素数
incr(big v, int t, big w)计算w = v + t
mr_compare(big a, big b),如果a>b,函数返回值为1；如果a=b,函数返回值为0；如果a<b,函数返回值为-1；
fft_mult(big x, big y, big z) z=x*y
divide(big x, big y, big z) z=x/y;如果y==z，x=x mod y

C代码

#include"miracl.h"
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>#define T 3
#define S 5
#define RCV 3
#define OFFSET 7
#define BITS 300int main(void)
{miracl  *mip = mirsys(1000,16);int i = 0, j = 0, seed[RCV];big K, k[S], d[S], N, M, v;big D[S], D_1[S], n, x;K = mirvar(0); N = mirvar(1); M = mirvar(1);v = mirvar(1); n = mirvar(1); x = mirvar(0);for (i = 0; i < S; i++) {k[i] = mirvar(0); d[i] = mirvar(0);D_1[i] = mirvar(0); D[i] = mirvar(0);}irand(time(NULL));puts("secret K:");//generate K// bigdig(BITS, 10, K);bigbits(BITS, K); cotnum(K, stdout);// expint(10, BITS/T + OFFSET, v);expb2(BITS/T + OFFSET, v); incr(v,1,v);                // find 5 d[i]for (i = 0; i < S; i++) {while (1) {incr(v, 2, v);if (isprime(v)) {printf("d[%d]: ",i);cotnum(v, stdout);copy(v, d[i]);break;}}}puts("N: ");for (i = 0; i < T; i++) {fft_mult(d[i], N, N);} cotnum(N, stdout);puts("M: ");for (i=1; i < T ; i++) {fft_mult(d[S-i], M, M);} cotnum(M, stdout);for (i = 0; i < S; i++) { //compute k[i]copy(K, k[i]);divide(k[i], d[i], d[i]);printf("k[%d]: ",i);cotnum(k[i], stdout);}srand(time(NULL));//generate RCV random differente numbersfor (i = 0; i < RCV; i++) {seed[i] = rand() % S;   do {for (j = 0; j < i; j++) {if (seed[i] == seed[j]) break;}if (i != j) {seed[i] = rand() % S;  }else {break;}}while(1);} // chinese remainder theory recover Kfor (i = 0; i < RCV; i++) {fft_mult(n, d[seed[i]], n);}       printf("\nchoose %d k:\n", RCV);for (i = 0; i < RCV; i++) {printf("k[%d]:",seed[i]); cotnum(k[seed[i]], stdout);copy(n, v);divide(v, d[seed[i]], D[seed[i]]);invmodp(D[seed[i]],d[seed[i]],D_1[seed[i]]);fft_mult(k[seed[i]], D[seed[i]], d[seed[i]]);fft_mult(d[seed[i]], D_1[seed[i]], d[seed[i]]);divide(d[seed[i]], n, n);add(d[seed[i]], x, x);}divide(x, n, n);putchar('\n'); printf("x= "); cotnum(x, stdout); printf("K= "); cotnum(K, stdout);!mr_compare(x, K)?puts("x == K"):puts("x != K");mirexit();return 0;
}

测试

注意问题

因为要求选择?个整数??,??,⋯,??，满足 ?个最小的??的乘积严格大于?−? 个最大的??的乘积且? > ? > ?，又由于k是300位的数所以di应该在100到150位之间。在100到150位之间取5个素数即可满足条件。

说明

课程作业，仅作记录

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