一元函数的泰勒展开式

由高等数学知识可知，对于一元函数f(x)f(x)f(x) 在kkk点，即x=x(k)x=x^{(k)}x=x(k)的泰勒展开式为：
f(x)=f(x(k))+f′(x(k))(x−x(k))+12!f′′(x(k))(x−x(k))2+⋯+1n!f(n)(x(k))(x−x(k))n+Rnf(x) = f(x^{(k)})+f'(x^{(k)})(x-x^{(k)}) + \frac{1}{2!}f^{''}(x^{(k)})(x-x^{(k)})^2 \\ + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x^{(k)})(x-x^{(k)})^n + R_n f(x)=f(x(k))+f′(x(k))(x−x(k))+2!1f′′(x(k))(x−x(k))2+⋯+n!1f(n)(x(k))(x−x(k))n+Rn
式子中的余项RnR_nRn为
Rn=1(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x(k))(n+1)R_n = \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x^{(k)})^{(n+1)}Rn=(n+1)!1f(n+1)(ξ)(x−x(k))(n+1)
其中ξ\xiξ在xxx和x(k)x^{(k)}x(k)之间。

二元函数的泰勒展开式

定理

设 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)的某一个领域内连续且有直到n+1n+1n+1阶的连续偏导数，(x0+h,y0+h)(x_0+h,y_0+h)(x0+h,y0+h)为此领域内任一点，则有
f(x0+h,y0+h)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)+⋯+1n!(h∂∂x+k∂∂y)nf(x0,y0)+1(n+1)!(h∂∂x+k∂∂y)(n+1)f(x0+θh,y0+θk),(0<θ<1)f(x_0+h,y_0+h) = f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0) + \frac{1}{2!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y})^2 f(x_0,y_0)\\+ \dots + \frac{1}{n!} (h\frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0) +\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y})^{(n+1)}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k), (0\lt \theta \lt 1)f(x0+h,y0+h)=f(x0,y0)+(h∂x∂+k∂y∂)f(x0,y0)+2!1(h∂x∂+k∂y∂)2f(x0,y0)+⋯+n!1(h∂x∂+k∂y∂)nf(x0,y0)+(n+1)!1(h∂x∂+k∂y∂)(n+1)f(x0+θh,y0+θk),(0<θ<1)

举个例子
函数f(X)=f(x1,x2)f(X)=f(x_1,x_2)f(X)=f(x1,x2)在点X(k)=(x1(k),x2(k))X^{(k)}=(x_1^{(k)},x_2^{(k)})X(k)=(x1(k),x2(k))附近的泰勒展开，若只去到二次项可写成
f(x)≈f(X(k))+∂f∂x1∣X=X(k)(x1−x1(k))+∂f∂x2∣X=X(k)(x2−x2(k))+12![∂2f∂x12∣X=X(k)(x1−x1(k))2+∂2f∂x1∂x2∣X=X(k)(x1−x1(k))(x2−x2(k))+∂2f∂x22∣X=X(k)(x2−x2(k))2]f(x) \approx f(X^{(k)}) + \frac{\partial f}{\partial x_1}|_{X=X^{(k)}}(x_1-x_1^{(k)})+\frac{\partial f}{\partial x_2}|_{X=X^{(k)}}(x_2-x_2^{(k)}) \\+ \frac{1}{2!} \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}|_{X=X^{(k)}}(x_1-x_1^{(k)})^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2 }|_{X=X^{(k)}}(x_1-x_1^{(k)})(x_2-x_2^{(k)}) + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}|_{X=X^{(k)}}(x_2-x_2^{(k)})^2 \right ]f(x)≈f(X(k))+∂x1∂f∣X=X(k)(x1−x1(k))+∂x2∂f∣X=X(k)(x2−x2(k))+2!1[∂x12∂2f∣X=X(k)(x1−x1(k))2+∂x1∂x2∂2f∣X=X(k)(x1−x1(k))(x2−x2(k))+∂x22∂2f∣X=X(k)(x2−x2(k))2]
将这个式子写成矩阵形式，即
f(X)≈f(X(k))+(∂f∂x1∂f∂x2)(x1−x1(k)x2−x2(k))+12(x1−x1(k)x2−x2(k))(∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22)(x1−x1(k)x2−x2(k))f(X) \approx f(X^{(k)}) + \left(\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1 - x_1^{(k)} \\ x_2 -x_2^{(k)} \end{matrix} \right) + \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} x_1 - x_1^{(k)} & x_2 -x_2^{(k)}\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \partial x_2 } \\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \partial x_2 } & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} \end{matrix}\right)\left( \begin{matrix} x_1 - x_1^{(k)} \\ x_2 -x_2^{(k)} \end{matrix} \right) f(X)≈f(X(k))+(∂x1∂f∂x2∂f)(x1−x1(k)x2−x2(k))+21(x1−x1(k)x2−x2(k))(∂x12∂2f∂x1∂x2∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f)(x1−x1(k)x2−x2(k))
式子中，我们令
∇f=(∂f∂x1∂f∂x2)X−X(k)=(x1−x1(k)x2−x2(k))∇2f=(∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22)\nabla f = \left(\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{matrix} \right) \\ X-X^{(k)} = \left( \begin{matrix} x_1 - x_1^{(k)} \\ x_2 -x_2^{(k)} \end{matrix} \right) \\ \nabla ^2 f = \left( \begin{matrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \partial x_2 } \\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \partial x_2 } & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} \end{matrix}\right) ∇f=(∂x1∂f∂x2∂f)X−X(k)=(x1−x1(k)x2−x2(k))∇2f=(∂x12∂2f∂x1∂x2∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f)
其中∇2f\nabla^2 f∇2f是函数f(X)f(X)f(X)在X(k)X(k)X(k)点的二阶偏导数矩阵，称为海森矩阵，可以用H(X)H(X)H(X)表示，它是一个对称矩阵。引用上述符号后，二元函数泰勒展开式可以简写为：
f(X)≈f(X(k))+∇f(X(k))(X−X(k))+12(X−X(k))TH(X(k))(X−X(k))f(X) \approx f(X^{(k)} )+\nabla f(X^{(k)})(X-X^{(k)}) +\frac{1}{2} (X-X^{(k)}) ^T H(X^{(k)})(X-X^{(k)}) f(X)≈f(X(k))+∇f(X(k))(X−X(k))+21(X−X(k))TH(X(k))(X−X(k))

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